Yn yr erthygl hon rydyn ni'n mynd i brofi gwybodaeth fathemategol ChatGPT. Byddwn yn ceisio manteisio ar ddeallusrwydd artiffisial i ddod o hyd i wrthenghraifft i Theorem Sylfaenol Algebra, gan ddarganfod y byddai'n sicr yn ein lansio tuag at Fedal Fields.
Os gofynnwn am wreiddiau polynomial gradd 3, yn yr achos hwn i gyd yn real, mae ChatGPT yn dadlau y gallai'r datrysiad dadansoddol ddibynnu ar yr polynomial arfaethedig, felly rydym yn argymell defnyddio dull rhifiadol ailadroddol fel dull Newton-Raphson.
Gwall wrth gyfrifo'r deilliad
Hyd yn hyn, ni allwn amau gallu mathemategol yr AI, felly fe wnaethom geisio datrys y broblem o ddod o hyd i wreiddiau'r polynomial p(x) = x3 - 3 × 2 + 4 ac er mawr syndod i ni fe wnaeth y cyfrifiad anghywir o'r deilliad , felly nid yw cael y gwreiddiau yn gywir. Mae'n dychwelyd x = 0 fel gwraidd yr polynomial a gofynnwn iddo ei wirio. Yn naturiol, mae'n ymwybodol o fodolaeth gwall ond nid yw'n gwybod ble y digwyddodd. Rydym wedi gweld bod y gwall yn y deilliad o'r polynomial a gofynnwn iddo gael ei gyfrifo o'r gwreiddiau trwy ddull Newton-Raphson. Yn syndod, mae'n gwneud gwall cyfrifiannol eto, y tro hwn mewn gweithrediad syml, fel y gwelwn yn y ddelwedd ganlynol:
Camgyfrifiad
Gan sylwi ar y gwall yn y cyfrifiadau, gofynnwn iddo eto, gan gyflawni gwall arall, felly rydym yn rhoi'r iteriad cyntaf o'r Dull Newton-Raphson iddo, sef, x₁ = 5/3 a gofynnwn i barhau â'r iteriadau, gan arwain at x₁ = 5 /3 yw gwraidd y polynomial. Ategwn trwy ofyn eto a yw'r gwerth 5/3 yn wreiddyn i'r polynomial, a chawn ateb cadarnhaol. Gofynnwn am gyfrifo gwerth y polynomial ar y gwerth hwnnw, a chan fod y canlyniad yn wahanol i sero, rydym yn ei ddangos na all fod yn wreiddyn. Mae'n ei ddeall ac yn ymddiheuro fel y gwelwn isod:
Rydym yn dod i'r casgliad bod theori Dull Newton-Raphson yn gywir, ond nid yw ei gymhwyso, felly rydym yn ceisio dod o hyd i'r gwreiddiau gan ddefnyddio dull arall, megis ffactoreiddio'r polynomial.
Yn yr achos hwn, rydym yn darganfod bod gwreiddiau'r polynomial p(x) yn x = r ac x = 1 ± 2i.
Pan ofynnir i ni wirio nad yw gwerth p(1+2i) yn sero ac felly na all fod yn wreiddyn i'n polynomial, unwaith eto cydnabyddwch y gwall. Wrth gyrraedd y sefyllfa hon, awn gyda chliw, a dywedwn wrtho mai x = – 1 yw gwreiddyn gwirioneddol yr polynomial a bod gweddill y gwreiddiau'n cyfrifo. Ni allai ei ateb cyntaf fod yn fwy o syndod, gan ddweud wrthym, yn ogystal â x = – 1, mai gwreiddiau eraill y polynomial p(x)=4 – 3×2 + x3 yw x = 1 + 2i a x = 1 – 2i . Hyd at bedair gwaith mae'n rhoi canlyniadau anghywir eto, felly nid oes gennym unrhyw ddewis ond rhoi gwraidd newydd iddo. Yn yr achos hwn, yn lle ei roi, gofynnwn ai x = 2 yw gwraidd ein polynomial. Barnwch drosoch eich hunain yr ateb, neu yn hytrach, y cyfrifiadau y mae ChatGPT yn eu gwneud i wirio nad yw x = 2 yn wreiddyn:
Ar ôl gwirio eich cyfrifiadau eto, gorffennwch trwy egluro mai gwreiddiau ein polynomial yw x = – 1, x = 1, a x = 2.
Byddwn yn dangos i chi fod pob un o'r tri gwreiddyn, gan ddychwelyd y cywir, hynny yw, nid yw x = 1 yn wreiddyn tra bod y ddau werth arall. Nid ydym yn rhoi'r gorau iddi ac yn ceisio dod o hyd i drydydd gwraidd y polynomial, a dyma'n union lle rydym yn dod o hyd i'r camddehongliad mwyaf. Ein hesboniadau: “Mae Theorem Sylfaenol Algebra yn sefydlu bod gan bob polynomaidd gradd n union wreiddiau, yn real ac yn gymhleth. Felly, os oes gan polynomial gradd n k gwreiddiau go iawn, yna mae'n rhaid iddo gael nk gwreiddiau cymhleth. Hyd yn hyn rydym yn cytuno. Rydym yn parhau gyda: “Yn achos y polynomial p(x) = 4 – 3 × 2 + x3, rydym wedi darganfod bod ganddo ddau wreiddyn real, x = – 1 a x = 2. Gan fod p(x) yn a polynomial o radd 3, yna mae'n rhaid iddo gael gwraidd cymhleth ychwanegol. Y gwreiddyn cymhleth hwn yw x = 1 ± 2i.” Ni allwn fynd allan o'n syndod a chredwn mai dim ond un o'r ddau wreiddyn yr oedd am ei ddangos i ni, felly rydym yn rhoi cyfle arall iddo, gan arwain at:
Felly, os ydym yn iawn, rydym newydd ddod o hyd i wrthenghraifft i Theorem Sylfaenol Algebra, polynomaidd gradd 3 gyda 4 gwreiddyn. Ydyn ni'n rhedeg am y Fedal Fields?
Ailddatganodd yr AI fod ei hateb yn gywir hyd at ddwy waith arall, gan ddangos y gall polynomial gradd 3 fod â 4 gwreiddyn. Aethom ati hyd yn oed i ddod o hyd iddynt gan ddefnyddio'r Dull Rhaniad. Nawr ydyn, rydyn ni'n rhoi'r gorau i chwilio am wreiddiau polynomial gradd 3 syml. Rydyn ni'n dweud hwyl fawr gydag un bilsen olaf:
Fel crynodeb terfynol, nid ydym yn dweud bod ChatGPT yn Ddeallusrwydd Artiffisial drwg, ymhell oddi wrtho, os nad i'r gwrthwyneb yn unig, mae'n AI da iawn, ond yn ei ben ei hun, mewn Prosesu Iaith Naturiol, er mewn Mathemateg mae ganddo o hyd ffordd bell i fynd.dysgu. Rhaid inni fod yn feirniadol o'r canlyniadau y mae'r peiriannau'n dychwelyd atom: nid ydynt yn wir ni waeth pa mor dda y maent wedi'u hesbonio, ac mae'n ymddangos bod bod dynol ar goll a all wirio eu cywirdeb.
AM YR AWDWR
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Cyhoeddwyd yr erthygl hon yn wreiddiol ar The Conversation.
