En aquest article posarem a prova els coneixements matemàtics de ChatGPT. Intentarem aprofitar la intel·ligència artificial per buscar un contraexemple del Teorema Fonamental de l'Àlgebra, descobrint que sens dubte ens llençaria cap a la Medalla Fields.
Si preguntem per les arrels d'un polinomi de grau 3, en aquest cas totes reals, ChatGPT ens argumenta que la resolució analítica pot dependre del polinomi proposat, per tant recomanem utilitzar un mètode numèric iteratiu com el mètode de Newton-Raphson.
Un error en el càlcul de la derivada
Fins ara, no podem dubtar de la capacitat matemàtica de la IA, per la qual cosa intentem que resolgui el problema de trobar les arrels del polinomi p(x) = x3 – 3×2 + 4 i per a la nostra sorpresa fa malament el càlcul de la derivada , de manera que l'obtenció de les arrels no és correcta. Ens torna x = 0 com a arrel del polinomi i us demanem que ho comproveu. Com és lògic, s'adona de l'existència d'un error, però no sap on s'ha produït. Hem vist que l'error és a la derivada del polinomi i la demanem que s'ha calculat a partir de les arrels mitjançant el mètode de Newton-Raphson. Sorprenentment torna a cometre un error de còmput aquesta vegada en una operació simple tal com apreciem a la imatge següent:
Error de càlcul
En advertir l'error en els càlculs, us els demanem de nou cometent un altre error més, per la qual cosa us donem la primera iteració del Mètode de Newton-Raphson, à saber, x₁ = 5/3 i sol·licitem continuar les iteracions, resultant que x₁ = 5/3 és arrel del polinomi. Corroborem preguntant novament si el valor 5/3 és una arrel del polinomi, i obtenim una resposta afirmativa. Demanem calcular el valor del polinomi en aquest valor, i, com que el resultat és diferent de zero, li fem veure que no pot ser una arrel. Ho entén i s'exculpa com podem veure a continuació:
Concloem que la teoria sobre el Mètode de Newton-Raphson és correcta, però no així la seva aplicació, per la qual cosa intentem trobar les arrels mitjançant un altre mètode, com ara la factorització del polinomi.
En aquest cas, trobem que les arrels del polinomi p(x) són x = rix = 1 ± 2i.
En demanar-li la comprovació que el valor de p(1+2i) est diferent de zero i que per tant no pot ser una arrel del nostre polinomi, novament reconegui l'error. Arribats a aquesta situació, anem amb una pista, i dècim que x = – 1 és una arrel real del polinomi i que la resta d'arrels calcula. La primera resposta no pot ser més sorprenent, dient-nos que a més de x = – 1, les altres arrels del polinomi p(x)=4 – 3×2 + x3 són x = 1 + 2i ix = 1 – 2i. Fins a quatre vegades torna a donar resultats incorrectes, així que no ens queda més remei que facilitar-li una nova arrel. En aquest cas, en comptes de donar-la, preguntem si x = 2 és arrel del nostre polinomi. Jutgen vosaltres mateixos la resposta, o més aviat, els càlculs que ChatGPT realitza per comprovar que x = 2 no és arrel:
Després de comprovar els càlculs novament, finalitza explicant que les arrels del nostre polinomi són x = – 1, x = 1 ix = 2.
Li demostrarem que les tres arrels són, tornant el que és correcte, és a dir, x = 1 no és arrel mentre que els altres dos valors sí que ho són. No ens donem per vençuts i intentem buscar la tercera arrel del polinomi, i és just on trobem el major error d'interpretació. Les nostres explicacions: “El Teorema Fonamental de l'Àlgebra estableix que tot polinomi de grau té exactament n arrels, tant reals com complexes. Així, si un polinomi de grau n té k arrels reals, aleshores ha de tenir nk arrels complexes.” Fins aquí hi estem d'acord. Continuem amb: “En el cas del polinomi p(x) = 4 – 3×2 + x3, hem trobat que té dues arrels reals, x = – 1 ix = 2. Com que p(x) és un polinomi de grau 3, llavors ha de tenir una arrel complexa addicional. Aquesta arrel complexa és x = 1 ± 2i.” No podem sortir de la nostra sorpresa i pensem que només volia mostrar-nos una de les dues arrels, per això li donem una altra oportunitat, resultant:
Per això si estem en raó, acabem de trobar un contraexemple del Teorema Fonamental de l'Àlgebra, un polinomi de grau 3 amb 4 arrels. Ens proposem per a la Medalla Fields?
L'AI va reafirmar que la seva resposta és correcta fins a dues vegades més, mostrant que un polinomi de grau 3 pot tenir 4 arrels. Fins i tot ens proposem trobar-les mitjançant el Mètode de Bisecció. Ara sí, desistim de seguir buscant les arrels dun polinomi de grau 3 senzill. Els nostres acomiadem cordialment amb una darrera píndola:
Com a resum final, no estem dient que ChatGPT s'una mala Intel·ligència Artificial, ni de bon tros, si no just el contrari, és molt bona IA, però en el seu cas, en el Processament del Llenguatge Natural, encara que a Matemàtiques encara li queda molt per aprendre. Hem de ser crítics amb els resultats que els motors ens tornen: no són certs per molt ben explicats que hi són, i sembla que falta un humà que en pugui comprovar la veracitat.
SOBER L'AUTOR
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Aquest article va ser publicat originalment a The Conversation.
