У цій статті ми збираємося перевірити математичні знання ChatGPT. Ми спробуємо використати переваги штучного інтелекту, щоб знайти контрприклад до фундаментальної теореми алгебри, виявивши, що це, безсумнівно, підштовхне нас до медалі Філдса.
Якщо ми запитуємо про корені полінома третього ступеня, у цьому випадку всі дійсні, ChatGPT стверджує, що аналітична роздільна здатність може залежати від запропонованого полінома, тому ми рекомендуємо використовувати ітераційний числовий метод, наприклад метод Ньютона-Рафсона.
Помилка в обчисленні похідної
Поки що ми не можемо сумніватися в математичних здібностях штучного інтелекту, тому ми спробували змусити його розв’язати задачу знаходження коренів полінома p(x) = x3 – 3×2 + 4 і, на наше здивування, він зробив неправильний розрахунок похідної , тому отримання коренів є неправильним. Він повертає x = 0 як корінь полінома, і ми просимо його перевірити це. Природно, він знає про наявність помилки, але не знає, де вона сталася. Ми бачили, що помилка полягає в похідній полінома, і ми просимо, щоб вона була обчислена з коренів за допомогою методу Ньютона-Рафсона. Дивно, але він знову робить обчислювальну помилку, цього разу під час простої операції, як ми можемо бачити на наступному зображенні:
Прорахунок
Помітивши помилку в обчисленнях, ми запитуємо його знову, допускаючи ще одну помилку, тому ми даємо йому першу ітерацію методу Ньютона-Рафсона, а саме x₁ = 5/3 і просимо продовжити ітерації, в результаті чого x₁ = 5 /3 — корінь многочлена. Ми підтверджуємо, запитуючи ще раз, чи є значення 5/3 коренем многочлена, і отримуємо ствердну відповідь. Ми просимо обчислити значення полінома при цьому значенні, і, оскільки результат відрізняється від нуля, ми показуємо, що він не може бути коренем. Він розуміє це і просить вибачення, як ми бачимо нижче:
Ми робимо висновок, що теорія методу Ньютона-Рафсона є правильною, але її застосування – ні, тому ми намагаємося знайти корені за допомогою іншого методу, наприклад розкладання багаточлена на множники.
У цьому випадку ми знаходимо, що корені многочлена p(x) є x = r і x = 1 ± 2i.
Коли вас попросять перевірити, що значення p(1+2i) відмінне від нуля і, отже, не може бути коренем нашого полінома, знову визнайте помилку. Дійшовши до цієї ситуації, ми йдемо з підказкою і говоримо йому, що x = – 1 є справжнім коренем полінома, а решта коренів обчислюється. Його перша відповідь не могла бути більш несподіваною, кажучи нам, що крім x = – 1, іншими коренями полінома p(x)=4 – 3×2 + x3 є x = 1 + 2i і x = 1 – 2i. . До чотирьох разів він знову дає неправильні результати, тому у нас немає іншого вибору, як надати йому новий корінь. У цьому випадку замість того, щоб надати його, ми запитуємо, чи є x = 2 коренем нашого многочлена. Відповідь, а точніше, обчислення, які ChatGPT виконує, щоб перевірити, що x = 2 не є коренем, судіть самі:
Перевіривши свої обчислення ще раз, поясніть, що корені нашого многочлена x = – 1, x = 1 і x = 2.
Ми покажемо вам, що всі три корені є, повертаючи правильні, тобто x = 1 не є коренем, тоді як інші два значення є. Ми не здаємось і намагаємося знайти третій корінь многочлена, і саме там ми знаходимо найбільше неправильне тлумачення. Наші пояснення: «Основна теорема алгебри встановлює, що кожен поліном ступеня має рівно n коренів, як дійсних, так і комплексних. Таким чином, якщо поліном ступеня n має k дійсних коренів, то він повинен мати nk комплексних коренів. Поки ми згодні. Ми продовжуємо: «У випадку полінома p(x) = 4 – 3×2 + x3 ми виявили, що він має два дійсні корені, x = – 1 і x = 2. Оскільки p(x) є поліном 3 ступеня, то він повинен мати додатковий комплексний корінь. Цей комплексний корінь є x = 1 ± 2i». Ми не можемо відійти від нашого подиву, і ми думаємо, що він лише хотів показати нам один із двох коренів, тому ми даємо йому ще один шанс, в результаті чого:
Отже, якщо ми маємо рацію, ми щойно знайшли контрприклад до фундаментальної теореми алгебри, поліном третього ступеня з 3 коренями. Ми претендуємо на медаль Філдса?
AI підтвердив, що її відповідь правильна ще два рази, показавши, що поліном третього ступеня може мати 3 корені. Ми навіть вирішили знайти їх за допомогою методу розділення навпіл. Тепер так, ми припиняємо шукати корені простого многочлена третього ступеня. Сердечно прощаємося з останньою таблеткою:
Підводячи підсумок, ми не кажемо, що ChatGPT є поганим штучним інтелектом, далеко не так, якщо не навпаки, це дуже хороший ШІ, але по-своєму, в обробці природної мови, хоча в математиці він все ще має довгий шлях. вчитися. Ми повинні критично ставитися до результатів, які повертають нам двигуни: вони не відповідають дійсності, незалежно від того, наскільки добре вони пояснені, і, здається, бракує людини, яка могла б перевірити їх правдивість.
ПРО АВТОРА
Іньїго Сарріа Мартінес Де Мендівіл
Ця стаття спочатку була опублікована на The Conversation.
