V tem članku bomo preizkusili matematično znanje ChatGPT. Poskušali bomo izkoristiti umetno inteligenco, da bi našli protiprimer temeljnemu izreku algebre in odkrili, da bi nas nedvomno popeljal proti Fieldsovi medalji.
Če vprašamo o koreninah polinoma stopnje 3, v tem primeru vsega realnega, ChatGPT trdi, da je analitična ločljivost lahko odvisna od predlaganega polinoma, zato priporočamo uporabo iterativne numerične metode, kot je Newton-Raphsonova metoda.
Napaka pri izračunu derivata
Zaenkrat ne moremo dvomiti o matematičnih sposobnostih umetne inteligence, zato smo poskušali rešiti problem iskanja korenin polinoma p(x) = x3 – 3×2 + 4 in na naše presenečenje je naredil napačen izračun izpeljanke , zato pridobivanje korenov ni pravilno. Vrne x = 0 kot koren polinoma in prosimo ga, da ga preveri. Seveda se zaveda obstoja napake, vendar ne ve, kje je nastala. Videli smo, da je napaka v odvodu polinoma, in zahtevamo, da je bila izračunana iz korenin z metodo Newton-Raphson. Presenetljivo znova naredi računsko napako, tokrat pri preprosti operaciji, kot lahko vidimo na naslednji sliki:
Napačen izračun
Ko opazimo napako v izračunih, ga ponovno vprašamo, pri čemer naredimo novo napako, zato mu damo prvo ponovitev Newton-Raphsonove metode, in sicer x₁ = 5/3, in zahtevamo, da nadaljuje iteracije, kar ima za posledico x₁ = 5 /3 je koren polinoma. Podkrepimo s ponovnim vprašanjem, ali je vrednost 5/3 koren polinoma, in dobimo pritrdilen odgovor. Zahtevamo, da izračunamo vrednost polinoma pri tej vrednosti, in ker je rezultat drugačen od nič, mu pokažemo, da ne more biti koren. To razume in se opravičuje, kot lahko vidimo spodaj:
Sklepamo, da je teorija Newton-Raphsonove metode pravilna, njena uporaba pa ne, zato poskušamo najti korene z drugo metodo, kot je faktorizacija polinoma.
V tem primeru ugotovimo, da sta korena polinoma p(x) x = r in x = 1 ± 2i.
Ko vas prosimo, da preverite, ali je vrednost p(1+2i) različna od nič in zato ne more biti koren našega polinoma, znova potrdite napako. Ko pridemo do te situacije, gremo z namigom in mu povemo, da je x = – 1 pravi koren polinoma in da preostali koreni izračunajo. Njegov prvi odgovor ne bi mogel biti bolj presenetljiv, saj nam pove, da so poleg x = – 1 drugi koreni polinoma p(x)=4 – 3×2 + x3 x = 1 + 2i in x = 1 – 2i. . Do štirikrat spet daje napačne rezultate, zato nam ne preostane drugega, kot da mu zagotovimo nov koren. V tem primeru namesto podajanja vprašamo, ali je x = 2 koren našega polinoma. Sami presodite odgovor oziroma izračune, ki jih ChatGPT izvede, da preveri, ali x = 2 ni koren:
Ko znova preverite svoje izračune, na koncu razložite, da so korenine našega polinoma x = – 1, x = 1 in x = 2.
Pokazali vam bomo, da so vsi trije koreni in vrnejo pravilno, to je, da x = 1 ni koren, medtem ko drugi dve vrednosti sta. Ne obupamo in poskušamo najti tretji koren polinoma in ravno tam najdemo največjo napačno interpretacijo. Naše razlage: »Temeljni izrek algebre določa, da ima vsak polinom stopnje natančno n korenin, tako realnih kot kompleksnih. Torej, če ima polinom stopnje n k realnih korenin, mora imeti nk kompleksnih korenin. Zaenkrat se strinjamo. Nadaljujemo z: »V primeru polinoma p(x) = 4 – 3×2 + x3 smo ugotovili, da ima dva realna korena, x = – 1 in x = 2. Ker je p(x) a polinom stopnje 3, potem mora imeti dodaten kompleksen koren. Ta kompleksni koren je x = 1 ± 2i." Ne moremo se rešiti začudenja in mislimo, da nam je želel le pokazati eno od dveh korenin, zato mu damo še eno priložnost, rezultat pa je:
Torej, če imamo prav, smo pravkar našli protiprimer k temeljnemu izreku algebre, polinom stopnje 3 s 4 koreninami. Ali kandidiramo za Fieldsovo medaljo?
Umetna inteligenca je še dvakrat potrdila, da je njen odgovor pravilen, kar je pokazalo, da ima lahko polinom stopnje 3 4 korenine. Namenili smo se jih celo najti z metodo bisekcije. Zdaj pa ja, opustimo iskanje korenin preprostega polinoma stopnje 3. Prisrčno se poslovimo z zadnjo tabletko:
Kot zadnji povzetek, ne trdimo, da je ChatGPT slaba umetna inteligenca, daleč od tega, če ne ravno nasprotno, je zelo dober AI, vendar po svoje, v obdelavi naravnega jezika, čeprav ima v matematiki še vedno dolga pot. nauči se. Do rezultatov, ki nam jih vračajo motorji, moramo biti kritični: niso resnični, ne glede na to, kako dobro so razloženi, in zdi se, da manjka človek, ki bi lahko preveril njihovo resničnost.
O AVTORJU
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Ta članek je bil prvotno objavljen na The Conversation.
