В этой статье мы проверим математические знания ChatGPT. Мы попытаемся воспользоваться преимуществами искусственного интеллекта, чтобы найти контрпример к Фундаментальной теореме алгебры, обнаружив, что это, несомненно, подтолкнет нас к медали Филдса.
Если мы спросим о корнях полинома степени 3, в данном случае все действительные, ChatGPT утверждает, что аналитическое разрешение может зависеть от предложенного полинома, поэтому мы рекомендуем использовать итеративный численный метод, такой как метод Ньютона-Рафсона.
Ошибка в вычислении производной
Пока что мы не можем сомневаться в математических способностях ИИ, поэтому мы попытались заставить его решать задачу нахождения корней многочлена p(x) = x3 – 3×2 + 4 и, к нашему удивлению, он сделал неверный расчет производной , поэтому получение корней некорректно. Он возвращает x = 0 как корень многочлена, и мы просим его проверить это. Естественно, он знает о существовании ошибки, но не знает, где она произошла. Мы видели, что ошибка находится в производной многочлена, и мы просим, чтобы она была вычислена от корней с помощью метода Ньютона-Рафсона. Удивительно, но он снова делает вычислительную ошибку, на этот раз в простой операции, как мы можем видеть на следующем изображении:
Просчет
Заметив ошибку в расчетах, мы переспрашиваем его, совершая еще одну ошибку, поэтому даем ему первую итерацию метода Ньютона-Рафсона, а именно x₁ = 5/3 и просим продолжить итерации, в результате чего x₁ = 5 /3 — корень многочлена. Мы подтверждаем это, снова спрашивая, является ли значение 5/3 корнем многочлена, и получаем утвердительный ответ. Мы просим вычислить значение многочлена при этом значении, и, поскольку результат отличен от нуля, показываем ему, что он не может быть корнем. Он понимает это и извиняется, как мы видим ниже:
Делаем вывод, что теория Метода Ньютона-Рафсона верна, а его применение — нет, поэтому пытаемся найти корни другим методом, например факторизацией многочлена.
В этом случае получаем, что корни многочлена p(x) равны x = r и x = 1 ± 2i.
Когда вас попросят проверить, что значение p(1+2i) не равно нулю и, следовательно, не может быть корнем нашего многочлена, снова подтвердите ошибку. Придя к такой ситуации, идем с подсказкой и говорим ему, что x = – 1 – это действительный корень многочлена, а остальные корни вычисляем. Его первый ответ не мог быть более удивительным, говоря нам, что помимо x = – 1, другими корнями многочлена p(x)=4 – 3×2 + x3 являются x = 1 + 2i и x = 1 – 2i . До четырех раз он снова дает неправильные результаты, поэтому у нас нет другого выбора, кроме как предоставить ему новый рут. В этом случае вместо того, чтобы дать его, мы спрашиваем, является ли x = 2 корнем нашего многочлена. Судите сами ответ, а точнее вычисления, которые производит ChatGPT для проверки того, что x = 2 не является корнем:
Еще раз проверив свои расчеты, закончите объяснением, что корни нашего многочлена равны x = – 1, x = 1 и x = 2.
Мы покажем вам, что все три корня являются правильными, то есть x = 1 не является корнем, а два других значения. Мы не сдаемся и пытаемся найти третий корень многочлена, и именно там мы находим самую большую неверную интерпретацию. Наши пояснения: «Фундаментальная теорема алгебры устанавливает, что каждый полином степени имеет ровно n корней, как действительных, так и комплексных. Таким образом, если многочлен степени n имеет k действительных корней, то он должен иметь nk комплексных корней. Пока мы согласны. Мы продолжаем: «В случае многочлена p(x) = 4 – 3×2 + x3 мы обнаружили, что он имеет два действительных корня, x = – 1 и x = 2. Поскольку p(x) является многочлен степени 3, то он должен иметь дополнительный комплексный корень. Этот комплексный корень равен x = 1 ± 2i». Мы не можем отделаться от нашего удивления и думаем, что он хотел показать нам только один из двух корней, поэтому мы даем ему еще один шанс, в результате чего:
Итак, если мы правы, мы только что нашли контрпример к основной теореме алгебры, многочлен степени 3 с 4 корнями. Мы боремся за Филдсовскую медаль?
ИИ подтвердил правильность ее ответа еще два раза, показав, что многочлен степени 3 может иметь 4 корня. Мы даже намеревались найти их, используя метод деления пополам. Теперь да, мы отказываемся от поиска корней простого многочлена степени 3. Сердечно прощаемся с последней таблеткой:
Подводя итог, мы не говорим, что ChatGPT — плохой Искусственный Интеллект, это далеко не так, если не наоборот, это очень хороший ИИ, но по-своему, в Обработке Естественного Языка, хотя в Математике он все же имеет долгий путь учиться. Мы должны критически относиться к результатам, которые возвращают нам машины: они не соответствуют действительности, как бы хорошо они ни были объяснены, и кажется, что не хватает человека, который мог бы проверить их достоверность.
ОБ АВТОРЕ
Иньиго Саррия Мартинес Де Мендивиль
Эта статья была первоначально опубликована на The Conversation.
