¿Puede ChatGPT ganar el ‘Nobel de Matemáticas’?

En este artículo vamos a poner a prueba los conocimientos matemáticos de ChatGPT. Intentaremos aprovechar la inteligencia artificial para buscar un contraejemplo del Teorema Fundamental del Álgebra, descubriendo que sin duda nos lanzaría hacia la Medalla Fields.

Si preguntamos por las raíces de un polinomio de grado 3, en este caso todas reales, ChatGPT nos argumenta que la resolución analítica puede depender del polinomio propuesto, por lo que recomendamos utilizar un método numérico iterativo como el método de Newton-Raphson.

Un error en el cálculo de la derivada

Hasta el momento, no podemos dudar de la capacidad matemática de la IA, por lo que intentamos que resuelva el problema de encontrar las raíces del polinomio p(x) = x3 – 3×2 + 4 y para nuestra sorpresa realiza mal el cálculo de la derivada , por lo que la obtención de las raíces no es correcta. Nos devuelve x = 0 como raíz del polinomio y le pedimos que lo compruebe. Como es lógico, se da cuenta de la existencia de un error pero no conoce dónde se ha producido. Hemos visto que el error está en la derivada del polinomio y la pedimos que se ha calculado a partir de las raíces mediantes del método de Newton-Raphson. Sorprendentemente vuelve a cometer un error de cómputo esta vez en una operación simple tal y como apreciamos en la siguiente imagen:

Error de cálculo

Error de cálculo

Al advertir el error en los cálculos, se los pedimos de nuevo cometiendo otro error más, por lo que le damos la primera iteración del Método de Newton-Raphson, à saber, x₁ = 5/3 y solicitamos continuar las iteraciones, resultando que x₁ = 5/3 es raíz del polinomio. Corroboramos preguntando de nuevo si el valor 5/3 es una raíz del polinomio, y obtenemos una respuesta afirmativa. Pedimos calcular el valor del polinomio en ese valor, y, como el resultado es distinto de cero, le hacemos ver que no puede ser una raíz. Lo entiende y se exculpa como podemos ver a continuación:

¿Puede ChatGPT ganar el 'Nobel de Matemáticas'?

Concluimos que la teoría sobre el Método de Newton-Raphson es correcta, pero no así su aplicación, por lo que intentamos hallar las raíces mediante otro método, como por ejemplo, la factorización del polinomio.

En este caso, encontramos que las raíces del polinomio p(x) son x = ryx = 1 ± 2i.

La conversación

Al pedirle la comprobación de que el valor de p(1+2i) est distinto de cero y que por consiguiente no puede ser una raíz de nuestro polinomio, nuevamente reconozca el error. Llegados a esta situación, vamos con una pista, y le décimos que x = – 1 es una raíz real del polinomio y que el resto de raices calcula. Su primera respuesta no puede ser más sorprendente, diciéndonos que además de x = – 1, las demás raíces del polinomio p(x)=4 – 3×2 + x3 son x = 1 + 2i yx = 1 – 2i. Hasta en cuatro ocasiones vuelve a dar resultados incorrectos, así que no nos queda más remedio que facilitarle una nueva raíz. En este caso, en vez de dársela, preguntamos si x = 2 es raíz de nuestro polinomio. Juzgen ustedes mismos la respuesta, o más bien, los cálculos que ChatGPT realiza para comprobar que x = 2 no es raíz:

¿Puede ChatGPT ganar el 'Nobel de Matemáticas'?

Tras comprobar los cálculos de nuevo, finaliza explicando que las raíces de nuestro polinomio son x = – 1, x = 1 yx = 2.

Le demostraremos que las tres raíces son, devolviendo lo correcto, es decir, x = 1 no es raíz mientras que los otros dos valores sí lo son. No nos damos por vencidos e intentamos buscar la tercera raíz del polinomio, y justo es donde encontramos el mayor error de interpretación. Nuestras explicaciones: “El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de grado tiene exactamente n raíces, tanto reales como complejas. Así, si un polinomio de grado n tiene k raíces reales, entonces debe tener nk raíces complejas.” Hasta aquí estamos de acuerdo. Continuamos con: “En el caso del polinomio p(x) = 4 – 3×2 + x3, hemos encontrado que tiene dos raíces reales, x = – 1 yx = 2. Como p(x) es un polinomio de grado 3, entonces debe Tener una raíz compleja adicional. Esta raíz compleja es x = 1 ± 2i.” No podemos salir de nuestro asombro e pensamos que sólo quería mostrarnos una de las dos raíces, por lo que le damos otra oportunidad, resultando:

¿Puede ChatGPT ganar el 'Nobel de Matemáticas'?

Por lo que si estamos en lo cierto, acabamos de encontrar un contraejemplo del Teorema Fundamental del Álgebra, un polinomio de grado 3 con 4 raíces. ¿Nos proponemos para la Medalla Fields?

¿Puede ChatGPT ganar el 'Nobel de Matemáticas'?

La AI reafirmó que su respuesta es correcta hasta en dos ocasiones más, mostrando que un polinomio de grado 3 puede tener 4 raíces. Incluso nos proponemos encontrarlas mediante el Método de Bisección. Ahora sí, desistimos de seguir buscando las raíces de un polinomio de grado 3 sencillo. Nuestros despedimos cordialmente con una última píldora:

¿Puede ChatGPT ganar el 'Nobel de Matemáticas'?

Como resumen final, no estamos diciendo que ChatGPT se una mala Inteligencia Artificial, ni mucho menos, si no justo lo contrario, es muy buena IA, pero en lo suyo, en el Procesamiento del Lenguaje Natural, aunque en Matemáticas todavía le queda mucho por aprender. Debemos ser críticos con los resultados que los motores nos devuelven: no son ciertos por muy bien explicados que están, y parece que falta un humano que pueda comprobar su veracidad.

SOBER EL AUTOR

Íñigo Sarría Martínez De Mendivil

Especialista en Matemáticas y Didáctica de las Matemáticas. Adjunto al Vicerrector de Ordenación Académica y Profesorado, UNIR – Universidad Internacional de La Rioja

Este artículo fue publicado originalmente en The Conversation.