इस लेख में हम ChatGPT के गणितीय ज्ञान का परीक्षण करने जा रहे हैं। हम बीजगणित के मौलिक प्रमेय के लिए एक प्रति-उदाहरण खोजने के लिए कृत्रिम बुद्धिमत्ता का लाभ उठाने की कोशिश करेंगे, यह पता लगाते हुए कि यह निस्संदेह हमें फील्ड्स मेडल की ओर ले जाएगा।
यदि हम डिग्री 3 के एक बहुपद की जड़ों के बारे में पूछते हैं, तो इस मामले में सभी वास्तविक हैं, चैटजीपीटी का तर्क है कि विश्लेषणात्मक संकल्प प्रस्तावित बहुपद पर निर्भर हो सकता है, इसलिए हम न्यूटन-रैफसन विधि जैसे पुनरावृत्त संख्यात्मक पद्धति का उपयोग करने की सलाह देते हैं।
व्युत्पन्न की गणना में त्रुटि
अब तक, हम AI की गणितीय क्षमता पर संदेह नहीं कर सकते हैं, इसलिए हमने बहुपद p(x) = x3 – 3×2 + 4 की जड़ों को खोजने की समस्या को हल करने की कोशिश की और हमें आश्चर्य हुआ कि इसने गलत गणना की व्युत्पन्न का, इसलिए मूल प्राप्त करना सही नहीं है। यह बहुपद के मूल के रूप में x = 0 लौटाता है और हम इसे जांचने के लिए कहते हैं। स्वाभाविक रूप से, यह एक त्रुटि के अस्तित्व से अवगत है लेकिन यह नहीं जानता कि यह कहाँ हुआ। हमने देखा है कि त्रुटि बहुपद के व्युत्पन्न में है और हम पूछते हैं कि इसकी गणना न्यूटन-रैफसन विधि के माध्यम से जड़ों से की गई है। आश्चर्यजनक रूप से, यह एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि फिर से करता है, इस बार एक साधारण ऑपरेशन में, जैसा कि हम निम्नलिखित छवि में देख सकते हैं:
अशुद्ध गणना
गणना में त्रुटि को ध्यान में रखते हुए, हम उससे फिर से पूछते हैं, एक और त्रुटि करते हुए, इसलिए हम उसे न्यूटन-राफसन विधि का पहला पुनरावृत्ति देते हैं, अर्थात् x₁ = 5/3 और हम पुनरावृत्तियों को जारी रखने के लिए कहते हैं, जिसके परिणामस्वरूप x₁ = 5 /3 बहुपद की जड़ है। हम फिर से पूछकर पुष्टि करते हैं कि क्या मान 5/3 बहुपद का एक मूल है, और हमें सकारात्मक उत्तर मिलता है। हम उस मान पर बहुपद के मान की गणना करने के लिए कहते हैं, और चूंकि परिणाम शून्य से भिन्न होता है, हम यह दिखाते हैं कि यह मूल नहीं हो सकता। वह इसे समझता है और क्षमा मांगता है जैसा कि हम नीचे देख सकते हैं:
हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि न्यूटन-रफसन विधि का सिद्धांत सही है, लेकिन इसका अनुप्रयोग सही नहीं है, इसलिए हम दूसरी विधि का उपयोग करके जड़ों को खोजने का प्रयास करते हैं, जैसे कि बहुपद का गुणनखंड।
इस स्थिति में, हम पाते हैं कि बहुपद p(x) के मूल x = r और x = 1 ± 2i हैं।
जब यह सत्यापित करने के लिए कहा गया कि p(1+2i) का मान शून्य नहीं है और इसलिए यह हमारे बहुपद का मूल नहीं हो सकता है, फिर से त्रुटि को स्वीकार करें। इस स्थिति तक पहुँचने पर, हम एक सुराग के साथ जाते हैं, और हम उसे बताते हैं कि x = - 1 बहुपद का एक वास्तविक मूल है और शेष मूल गणना करते हैं। उनका पहला उत्तर इससे अधिक आश्चर्यजनक नहीं हो सकता था, हमें यह बताते हुए कि x = - 1 के अतिरिक्त, बहुपद p(x)=4 - 3×2 + x3 के अन्य मूल x = 1 + 2i और x = 1 - 2i हैं। . चार गुना तक यह फिर से गलत परिणाम देता है, इसलिए हमारे पास इसे एक नई जड़ प्रदान करने के अलावा कोई विकल्प नहीं है। इस स्थिति में, इसे देने के बजाय, हम पूछते हैं कि क्या x = 2 हमारे बहुपद का मूल है। अपने लिए उत्तर का न्याय करें, या बल्कि, गणना जो कि चैटजीपीटी यह जांचने के लिए करता है कि x = 2 जड़ नहीं है:
अपने परिकलनों की फिर से जाँच करने के बाद, यह समझाकर समाप्त करें कि हमारे बहुपद के मूल x = - 1, x = 1, और x = 2 हैं।
हम आपको दिखाएंगे कि तीनों रूट सही रिटर्न कर रहे हैं, यानी x = 1 एक रूट नहीं है जबकि अन्य दो वैल्यू हैं। हम हार नहीं मानते हैं और बहुपद की तीसरी जड़ खोजने की कोशिश करते हैं, और ठीक यही वह जगह है जहां हमें सबसे बड़ी गलत व्याख्या मिलती है। हमारी व्याख्याएँ: "बीजगणित का मौलिक प्रमेय यह स्थापित करता है कि डिग्री के प्रत्येक बहुपद में वास्तविक और जटिल दोनों तरह की जड़ें होती हैं। इस प्रकार, यदि घात n वाले बहुपद के वास्तविक मूल हैं, तो उसके nk सम्मिश्र मूल होने चाहिए। अभी तक हम सहमत हैं। हम इसे जारी रखते हैं: "बहुपद p(x) = 4 - 3×2 + x3 के मामले में, हमने पाया है कि इसके दो वास्तविक मूल हैं, x = - 1 और x = 2। चूँकि p(x) एक है घात 3 का बहुपद है, तो उसका एक अतिरिक्त सम्मिश्र मूल होना चाहिए। यह सम्मिश्र मूल x = 1 ± 2i है।” हम अपने विस्मय से बाहर नहीं निकल सकते और हम सोचते हैं कि वह हमें केवल दो जड़ों में से एक दिखाना चाहता था, इसलिए हम उसे एक और मौका देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप:
इसलिए यदि हम सही हैं, तो हमने बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक प्रति-उदाहरण पाया है, 3 मूलों के साथ डिग्री 4 का एक बहुपद। क्या हम फील्ड्स मेडल के लिए दौड़ रहे हैं?
एआई ने पुष्टि की कि उसका उत्तर दो बार और सही है, यह दर्शाता है कि एक डिग्री 3 बहुपद में 4 जड़ें हो सकती हैं। हमने उन्हें समद्विभाजन विधि का उपयोग करके खोजने के लिए भी निर्धारित किया। अब हाँ, हम एक साधारण डिग्री 3 बहुपद के मूलों की तलाश करना छोड़ देते हैं। हम सौहार्दपूर्वक एक आखिरी गोली के साथ अलविदा कहते हैं:
अंतिम सारांश के रूप में, हम यह नहीं कह रहे हैं कि चैटजीपीटी एक खराब आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस है, इससे बहुत दूर, अगर इसके विपरीत नहीं है, तो यह बहुत अच्छा एआई है, लेकिन अपने आप में, प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण में, हालांकि गणित में यह अभी भी एक है अभी लंबा रास्ता तय करना है. सीखो. हमें उन परिणामों के बारे में आलोचनात्मक होना चाहिए जो इंजन हमारे पास लौटते हैं: वे सच नहीं हैं चाहे वे कितनी अच्छी तरह से समझाए गए हों, और ऐसा लगता है कि एक मानव गायब है जो उनकी सत्यता को सत्यापित कर सकता है।
लेखक के बारे में
इनिगो सरिया मार्टिनेज डी मेंडिविल
यह लेख मूल रूप से द कन्वर्सेशन पर प्रकाशित हुआ था।
