Le 13 mai prochain marquera le 1909e anniversaire de la mort du mathématicien polonais Stanislaw Ulam (1984 - XNUMX), l'un des membres du projet Manhattan, qui, comme vous le savez peut-être, a commandé, entre autres, la création du premier réacteur à hydrogène bombe dans l'histoire. Malheureusement, nous nous trouvons à une époque où les sobres dilemmes moraux de l'utilisation de l'énergie nucléaire à des fins qui ne sont pas précisément pacifiques émergent clairement. Ulam était l'un des plus réticents et tourmentés par le développement final de la bombe atomique. Laissant de côté cette polémique, évidemment non surmontée, se pose la question de savoir quel rôle un mathématicien inoffensif (a priori), avec ses calculs et ses équations, pourrait jouer dans une telle affaire.
Nous allons jeter un coup d'oeil.
Si nous cherchons des informations sur Ulam, nous constaterons que ses contributions mathématiques se répartissent dans différents domaines tels que la théorie des nombres, la théorie des ensembles, la théorie ergodique et la topologie algébrique. Évidemment, nous ne pouvons pas examiner autant de matériel dans une seule revue, nous nous concentrerons donc cette fois sur le modèle qu'il a développé avec un autre génie des mathématiques et de l'informatique, qui a également travaillé au laboratoire de Los Alamos dans le projet susmentionné de Manhattan, The Hungarian - Mathématicien américain John Von Neumann (1903 – 1957), connu sous le nom de méthode de Monte Carlo.
Tout d'abord, il convient de rappeler quelques idées qui éclairent un peu le type de problèmes que nous allons traiter. Lorsqu'il s'agit de modéliser n'importe quel phénomène ou circonstance qui se produit autour de nous (une expérience qui peut être aussi simple que lancer une pièce de monnaie, ou aussi complexe que décrire l'évolution de l'eau lorsqu'un tuyau se brise à l'intérieur d'un bâtiment, ou comment simuler le mouvement de diffusion de neutrons dans les matières de fission nucléaire). Cette modélisation de ce qui peut arriver est faite par un algorithme (un mot familier dans la vie depuis un certain temps).
Un algorithme n'est ni plus ni moins que des règles fixes, toujours les mêmes, qui reproduisent un processus. Par exemple, pour additionner, restituer, multiplier ou diviser deux nombres on utilise à chaque fois un algorithme (ceux qu'on nous apprend à l'école), la préparation d'un gâteau, le déplacement des bus dans une ville, l'interprétation d'une chanson, tout ce que nous faisons (parfois avec quelques variantes, auquel cas nous modifions l'algorithme) peut être décrit par des règles, par un algorithme. Les expériences (que nous modélisons à l'aide de ces algorithmes) peuvent être classées en deux types de base : déterministes et aléatoires (ou probabilistes). Elle est déterministe lorsque son résultat est identique tant qu'on part des mêmes conditions (si on laisse tomber un objet, on sait avec certitude qu'il finira par terre ; si on chauffe une casserole d'eau, on sait qu'il finira jusqu'à ébullition), alors que c'est occasionnel quand ce n'est pas le cas. On nous garantit le même résultat même si nous faisons la même chose (lancer une pièce de monnaie, tirer une boule d'une urne, savoir où la foudre va tomber). En réalité, seuls les phénomènes naturels sont purement aléatoires, car avec la pièce de monnaie, la boule dans l'urne, etc., on a deviné son comportement en étudiant ladite pièce, ou la machine qui extrait la boule. C'est pourquoi on parle d'expériences pseudo-aléatoires (celles qui dépendent de quelque artefact construit par l'homme) et purement aléatoires. Mais nous ne ferons pas une telle distinction dans ce qui suit, pour simplifier les choses. La modélisation d'expériences ou de phénomènes déterministes repose sur une formule connue et fermée, mais les segments reposent sur la génération de nombres aléatoires et l'analyse des probabilités associées.
jeux de cartes
Dans les travaux qui ont sobrement réalisé la diffusion des particules dans la fission nucléaire, les physiciens qui faisaient partie du projet Manhattan ont averti qu'il posait un comportement complètement aléatoire. Pour leurs études, deux procédures pourraient être choisies : résoudre les équations différentielles intégrales qui régissent la dispersion, l'absorption et la fission, ou prendre des données d'expériences réelles. Ni l'un ni l'autre n'était faisable (le premier parce qu'on ne sait pas résoudre exactement ce type d'équations ; le second parce qu'évidemment on ne sait pas faire de désintégrations atomiques). Stan Ulam aimait les jeux de cartes et calculait les probabilités pour trouver des méthodes délicates pour essayer de trouver un rival.
Justement, en jouant au solitaire, on constate qu'il était plus facile de se faire une idée du résultat général du solitaire en faisant plusieurs tests avec les graphiques et en comptant les proportions des résultats, que de calculer formellement toutes les possibilités de combinaison. Il s'agit d'un test multiple de la possibilité de générer des nombres aléatoires avec l'ordinateur et d'obtenir les résultats. Bien sûr, une personne peut le faire plusieurs fois, mais un ordinateur peut passer des heures à afficher des chiffres, et pendant ce temps faire des centaines, des kilomètres, des millions aujourd'hui, de simulations. Puis il s'est rendu compte que la même chose pouvait être appliquée pour déduire le comportement d'un phénomène physique, comme la diffusion de neutrons.
Ulam a expliqué l'idée à Von Neumann. Bien qu'au début il n'était pas convaincu, au fil du temps (et probablement de quelques expérimentations), il est devenu un vrai fan convaincu de la procédure. Comme tout ce qu'ils faisaient à Los Álamos était secret, ils donnèrent au projet un numéro de code, qu'un des membres du groupe baptisa Montecarlo, en référence au célèbre Casino de cette ville. Après tout, ce que la roulette génère, ce sont des nombres aléatoires (comme je l'ai mentionné précédemment, faux, car cela dépend d'un mécanisme mécanique, c'est pseudo-aléatoire ; en fait, de nombreux joueurs ont eu de grands avantages en observant le comportement des roues de la roulette et déduisant une formule empirique que je les ai modélisés), bien qu'apparemment Ulam ait accepté le numéro en "honneur" d'un de ses oncles qui n'a fait qu'emprunter de l'argent à tout le monde pour y jouer.
Quoi qu'il en soit, les méthodes de Montecarlo étaient indispensables pour les simulations requises, bien qu'assez limitées par les outils informatiques de l'époque (un ENIAC). En 1948, les premiers résultats acceptables sur le comportement d'un noyau de fission ont été obtenus. Dans les années 1950, les méthodes de Monte Carlo ont joué un rôle déterminant dans le développement de la bombe à hydrogène et sont devenues populaires dans les domaines de la physique, de la physique et de la recherche opérationnelle. La Rand Corporation et l'US Air Force étaient deux des principales organisations chargées de financer et de diffuser des informations sur ces méthodes. Desde entonces no han parado de perfeccionarse y encontrarse aplicaciones en los campamentos más variopintos, entre los que destacan la física, la medicina (imágenes radiográficas, sobre todo), la química molecular, ingeniería, diseño gráfico, economía y negocios y, por supuesto, les mathématiques.
Exemples
Il mentionne souvent l'expérience de l'aiguille de Buffon pour estimer les décimales du nombre Pi comme précurseur des méthodes de Monte Carlo. Si nous prenons une feuille de papier sur laquelle nous marquons des lignes parallèles à une distance d entre elles (voir image), et laissons tomber une aiguille de longueur l 
La probabilité que l'aiguille soit à la position est
Plus tard, Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827) interpréta cette relation comme un moyen de trouver des approximations aux décimales de Pi. Comment? Tirer l'aiguille plusieurs fois et compter le nombre d'aiguilles restantes dans la situation a. Cette valeur divisée par le nombre total de lancers se rapproche de cette valeur de la probabilité p, et facilite donc également le calcul de Pi :
Bien sûr, l'approximation obtenue est très inefficace : ainsi atteindre 5 décimales correctes avec 3400 lancers est inférieur à 1.5 %. Discutez simplement de l'idée des méthodes de Monte Carlo: combien de lancers, combien d'approches.
Quand on joue des vaisseaux, dans un premier temps, jusqu'à ce qu'on "définisse" les zones où se trouve l'objectif, on utilise aussi une stratégie de Montecarlo : on "lance" des volées aléatoires, et plus on définit, plus on définit la zone où se trouvent les vaisseaux adverses. . Une procédure similaire est utilisée par les garde-côtes pour localiser des personnes ou des navires probablement disparus dans des épaves (voir le logiciel SAROPS, par exemple) lors d'opérations de recherche et de sauvetage. Cette simulation peut générer jusqu'à un millier de points de données distribués de manière aléatoire en fonction de variables proportionnelles. Les modèles de recherche sont ensuite basés sur l'analyse de ces données pour optimiser la probabilité de conflit et la probabilité de détection, qui, combinées, égalent une probabilité globale de succès. En fin de compte, cela servira d'application pratique de la distribution de probabilité pour fournir la méthode de sauvetage la plus rapide et la plus pratique, qui sera probablement efficace pour sauver des vies et optimiser les ressources.
En mathématiques, ces méthodes sont utilisées à de nombreux endroits, depuis l'approximation d'intégrales ou l'estimation de solutions d'équations qui ne peuvent pas être résolues en mode exact, jusqu'à la détermination si oui ou non un nombre à cent chiffres est premier (test de primalité).
aventures d'un mathématicien
Il y a quelques mois, le film "Adventures of a Mathematician" (Thor Klein, Allemagne, Pologne et Royaume-Uni, 2020) sur Stanislaw Ulam et son travail avec d'autres scientifiques à Los Alamos est sorti. Plus dit, il est sorti dans plus d'une dizaine de pays, parmi lesquels n'est pas le nôtre. Convenez que ce n'est pas un film d'action frénétique, ni de super-héros, ni une comédie dans le groupe de travail de la bombe atomique et de la bombe à hydrogène qui a suivi, aspects sur lesquels certains réalisateurs ne réfléchiront pas aujourd'hui avant de parler si volontiers d'armes nucléaires; paradoxalement, en Russie, il a été publié).
Le film était basé sur le livre du même nom d'Ulam, édité en 1984, qui a été publié en espagnol dans l'un ou l'autre (les sujets scientifiques semblent nous étouffer, ainsi que les langues, donc dans ce cas, il a tout). Cependant, je le recommande si vous avez la possibilité de vous en procurer. A propos du film, voici la bande-annonce. Dans l'image, une scène dans laquelle Ulam enseigne à ses élèves quelques trucs sur les jeux de cartes basés sur le calcul des probabilités.
Nous ferons sans doute référence à d'autres œuvres d'Ulam dans les revues ultérieures, comme une spirale dont vous avez sûrement entendu parler.
Alfonso Jesús Población Sáez est professeur à l'Université de Valladolid et membre de la Commission de diffusion de la Société royale espagnole de mathématiques (RSME).
L'ABCdario de Mathématiques est une section qui découle de la collaboration avec la Commission de diffusion RSME.
