Yn dit artikel sille wy de wiskundige kennis fan ChatGPT testen. Wy sille besykje te profitearjen fan keunstmjittige yntelliginsje om in tsjinfoarbyld te finen foar de Fundamental Theorem of Algebra, ûntdekke dat it ús sûnder mis soe lansearje nei de Fields Medal.
As wy freegje oer de woartels fan in polynoom fan graad 3, yn dit gefal alle echte, ChatGPT stelt dat de analytyske resolúsje kin ôfhingje fan de foarstelde polynoom, dus wy riede mei help fan in iterative numerike metoade lykas de Newton-Raphson metoade.
In flater yn 'e berekkening fan' e derivative
Oant no kinne wy net twifelje oan it wiskundige fermogen fan 'e AI, dus wy besochten it probleem op te lossen fan it finen fan' e woartels fan 'e polynoom p (x) = x3 - 3 × 2 + 4 en ta ús ferrassing die it de ferkearde berekkening fan 'e derivative , dus it krijen fan 'e woartels is net korrekt. It jout x = 0 as de woartel fan it polynoom en wy freegje it om it te kontrolearjen. Fansels is it bewust fan it bestean fan in flater, mar wit net wêr't it barde. Wy hawwe sjoen dat de flater yn 'e derivative fan' e polynoom sit en wy freegje dat it út 'e woartels berekkene is troch de Newton-Raphson-metoade. Ferrassend makket it wer in berekkeningsflater, dizze kear yn in ienfâldige operaasje, lykas wy kinne sjen yn 'e folgjende ôfbylding:
Misrekkening
As wy de flater yn 'e berekkeningen besjen, freegje wy him nochris, en meitsje in oare flater, dus jouwe wy him de earste iteraasje fan' e Newton-Raphson-metoade, nammentlik x₁ = 5/3 en wy freegje om de iteraasjes troch te gean, wat resulteart yn x₁ = 5 /3 is de woartel fan it polynoom. Wy befêstigje troch opnij te freegjen oft de wearde 5/3 in woartel is fan it polynoom, en wy krije in befêstigjend antwurd. Wy freegje om de wearde fan it polynoom op dy wearde te berekkenjen, en, om't it resultaat oars is fan nul, litte wy sjen dat it gjin root kin wêze. Hy begrypt it en ferûntskuldiget him sa't wy hjirûnder kinne sjen:
Wy konkludearje dat de teory fan 'e Newton-Raphson-metoade korrekt is, mar har tapassing is net, dus besykje wy de woartels te finen mei in oare metoade, lykas de faktorisaasje fan' e polynoom.
Yn dit gefal fine wy dat de woartels fan it polynoom p(x) x = r en x = 1 ± 2i binne.
As jo frege om te ferifiearjen dat de wearde fan p (1 + 2i) net-nul is en dêrom net in woartel fan ús polynoom wêze kin, erken dan de flater opnij. As wy by dizze situaasje komme, geane wy mei in oanwizing, en wy fertelle him dat x = - 1 in echte woartel is fan 'e polynoom en dat de rest fan' e woartels berekkenje. Syn earste antwurd koe net mear ferrassend wêze, en fertelt ús dat neist x = – 1, de oare woartels fan it polynoom p(x)=4 – 3×2 + x3 binne x = 1 + 2i en x = 1 – 2i . Oant fjouwer kear jout it wer ferkearde resultaten, dus wy hawwe gjin oare kar as it te foarsjen fan in nije root. Yn dit gefal, ynstee fan it te jaan, freegje wy as x = 2 de woartel fan ús polynoom is. Beoardielje foar josels it antwurd, of leaver, de berekkeningen dy't ChatGPT útfiert om te kontrolearjen dat x = 2 gjin root is:
Nei it kontrolearjen fan jo berekkeningen, einigje troch te ferklearjen dat de woartels fan ús polynoom x = - 1, x = 1, en x = 2 binne.
Wy sille jo sjen litte dat alle trije woartels binne, it juste weromjaan, dat is, x = 1 is gjin woartel, wylst de oare twa wearden binne. Wy jouwe net op en besykje de tredde woartel fan 'e polynoom te finen, en it is krekt wêr't wy de grutste misinterpretaasje fine. Us ferklearrings: "De Fundamental Theorem of Algebra stelt fêst dat elk polynomium fan graad krekt n woartels hat, sawol echt as kompleks. Dus, as in polynoom fan graad n k echte woartels hat, dan moat it nk komplekse woartels hawwe. Sa fier binne wy it iens. Wy geane troch mei: "Yn it gefal fan it polynoom p(x) = 4 – 3×2 + x3, hawwe wy fûn dat it twa echte woartels hat, x = – 1 en x = 2. Sûnt p(x) is in polynomium fan graad 3, dan moat it in ekstra komplekse woartel hawwe. Dizze komplekse woartel is x = 1 ± 2i." Wy kinne net út ús fernuvering komme en wy tinke dat hy ús mar ien fan 'e twa woartels sjen woe, dat wy jouwe him noch in kâns, mei as gefolch:
Dus as wy gelyk hawwe, hawwe wy krekt in tsjinfoarbyld fûn foar de Fundamental Theorem of Algebra, in polynomium fan graad 3 mei 4 woartels. Rinne wy foar de Fields Medal?
De AI befêstige dat har antwurd oant twa kear noch korrekt is, wat toant dat in polynomium fan graad 3 4 woartels kin hawwe. Wy sette sels út om se te finen mei de biseksjemetoade. No ja, wy jouwe op om te sykjen nei de woartels fan in ienfâldige graad 3 polynoom. Wy nimme fan herte ôfskied mei in lêste pil:
As lêste gearfetting sizze wy net dat ChatGPT in minne keunstmjittige yntelliginsje is, fier fan it, as net krekt it tsjinoerstelde, it is heul goede AI, mar yn syn eigen, yn natuerlike taalferwurking, hoewol it yn 'e wiskunde noch in lange wei te gean. leare. Wy moatte kritysk wêze oer de resultaten dy't de motoren ús werombringe: se binne net wier, hoe goed se ek wurde ferklearre, en it liket derop dat in minske ûntbrekt dy't har wierheid ferifiearje kin.
OER DE SKRIUWER
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Dit artikel waard oarspronklik publisearre op The Conversation.
