V tomto článku otestujeme matematické znalosti ChatGPT. Pokusíme se využít výhod umělé inteligence k nalezení protipříkladu k Základní větě algebry a zjistíme, že by nás to nepochybně vyneslo k Fieldsově medaili.
Pokud se zeptáme na kořeny polynomu stupně 3, v tomto případě všechny reálné, ChatGPT tvrdí, že analytické rozlišení může záviset na navrhovaném polynomu, takže doporučujeme použít iterativní numerickou metodu, jako je Newton-Raphsonova metoda.
Chyba ve výpočtu derivace
Zatím nemůžeme pochybovat o matematických schopnostech AI, takže jsme se pokusili vyřešit problém hledání kořenů polynomu p(x) = x3 – 3×2 + 4 a k našemu překvapení provedla špatný výpočet derivace , takže získání kořenů není správné. Vrátí x = 0 jako kořen polynomu a požádáme ho, aby to zkontroloval. Přirozeně si je vědom existence chyby, ale neví, kde k ní došlo. Viděli jsme, že chyba je v derivaci polynomu a žádáme, aby byla vypočtena od kořenů pomocí Newton-Raphsonovy metody. Překvapivě opět dělá výpočetní chybu, tentokrát v jednoduché operaci, jak můžeme vidět na následujícím obrázku:
Špatná kalkulace
Když si všimneme chyby ve výpočtech, zeptáme se ho znovu, dopustíme se další chyby, takže mu dáme první iteraci Newton-Raphsonovy metody, konkrétně x₁ = 5/3 a požádáme, aby pokračoval v iteracích, což má za následek x₁ = 5 /3 je kořen polynomu. Potvrdíme tím, že se znovu zeptáme, zda je hodnota 5/3 kořenem polynomu, a dostaneme kladnou odpověď. Požádáme o výpočet hodnoty polynomu při této hodnotě, a protože výsledek je jiný než nula, ukážeme mu, že to nemůže být kořen. Chápe to a omlouvá se, jak můžeme vidět níže:
Dospěli jsme k závěru, že teorie Newton-Raphsonovy metody je správná, ale její aplikace nikoliv, takže se pokusíme najít kořeny pomocí jiné metody, jako je faktorizace polynomu.
V tomto případě zjistíme, že kořeny polynomu p(x) jsou x = r a x = 1 ± 2i.
Když budete požádáni o ověření, že hodnota p(1+2i) je nenulová, a proto nemůže být kořenem našeho polynomu, znovu potvrďte chybu. Když dojdeme k této situaci, jdeme s vodítkem a řekneme mu, že x = – 1 je skutečný kořen polynomu a že zbytek kořenů se počítá. Jeho první odpověď nemůže být překvapivější, protože nám říká, že kromě x = – 1 jsou další kořeny polynomu p(x)=4 – 3×2 + x3 x = 1 + 2i a x = 1 – 2i. . Až čtyřikrát dává opět nesprávné výsledky, takže nám nezbývá, než mu opatřit nový kořen. V tomto případě se místo zadání zeptáme, zda x = 2 je kořenem našeho polynomu. Posuďte sami odpověď, nebo spíše výpočty, které ChatGPT provádí, aby ověřil, že x = 2 není kořen:
Po opětovné kontrole výpočtů dokončete vysvětlení, že kořeny našeho polynomu jsou x = – 1, x = 1 a x = 2.
Ukážeme vám, že všechny tři kořeny jsou, vracejí správné, to znamená, že x = 1 není kořen, zatímco ostatní dvě hodnoty ano. Nevzdáváme se a snažíme se najít třetí odmocninu polynomu a právě tam nacházíme největší dezinterpretaci. Naše vysvětlení: „Základní věta algebry stanoví, že každý polynom stupně má přesně n kořenů, skutečných i komplexních. Má-li tedy polynom stupně n k reálných kořenů, pak musí mít nk komplexních kořenů. Zatím se shodneme. Pokračujeme: „V případě polynomu p(x) = 4 – 3×2 + x3 jsme zjistili, že má dva reálné kořeny, x = – 1 a x = 2. Protože p(x) je a polynom stupně 3, pak musí mít další komplexní kořen. Tento komplexní kořen je x = 1 ± 2i." Nemůžeme se dostat z údivu a myslíme si, že nám chtěl ukázat jen jeden ze dvou kořenů, a tak mu dáme ještě šanci, výsledkem je:
Takže pokud máme pravdu, právě jsme našli protipříklad k Základní větě algebry, polynom 3. stupně se 4 kořeny. Budeme kandidovat na Fieldsovu medaili?
Umělá inteligence znovu potvrdila, že její odpověď je správná, až dvakrát, což ukazuje, že polynom 3. stupně může mít 4 kořeny. Dokonce jsme se je vydali hledat pomocí Bisection Method. Nyní ano, vzdáváme se hledání kořenů jednoduchého polynomu 3. stupně. Srdečně se loučíme poslední pilulkou:
Jako poslední shrnutí neříkáme, že ChatGPT je špatná umělá inteligence, zdaleka ne, ne-li právě naopak, je to velmi dobrá umělá inteligence, ale sama o sobě, ve zpracování přirozeného jazyka, i když v matematice stále má dlouhá cesta, učit se. Musíme být kritičtí k výsledkům, které nám motory vracejí: nejsou pravdivé bez ohledu na to, jak dobře jsou vysvětleny, a zdá se, že chybí člověk, který by mohl ověřit jejich pravdivost.
O AUTOROVI
Iñigo Sarría Martínez De Mendivil
Tento článek byl původně publikován na The Conversation.
