13 maja przyszłego roku minie trzydzieści kilka lat od śmierci polskiego matematyka Stanisława Ulama (1909 - 1984), jednego z członków projektu Manhattan, który, jak wiadomo, był odpowiedzialny m.in. za stworzenie pierwszego bomba wodorowa w historii. Niestety, żyjemy w okresie, w którym wyraźnie widać trzeźwe dylematy moralne związane z wykorzystaniem energii jądrowej do celów, które nie są do końca pokojowe. Ulam był jednym z najbardziej niechętnych i udręczonych ostatecznym opracowaniem bomby atomowej. Pomijając tę kontrowersję, najwyraźniej nierozstrzygniętą, pozostaje pytanie, jaką rolę nieszkodliwy (a priori) matematyk mógłby odegrać w takiej sprawie ze swoimi obliczeniami i równaniami.
Spójrzmy.
Jeśli będziemy szukać informacji o Ulamie, odkryjemy, że jego wkład matematyczny dotyczy różnych dziedzin, takich jak teoria liczb, teoria mnogości, teoria ergodyczna i topologia algebraiczna. Oczywiście nie jesteśmy w stanie w jednej recenzji przejrzeć tak dużej ilości materiału, dlatego tym razem skupimy się na modelu, który opracował wspólnie z innym geniuszem matematyki i informatyki, który także pracował w Los Alamos Laboratory przy wspomnianym projekcie Manhattan. -amerykański matematyk John Von Neumann (1903 – 1957), znany jako metoda Monte Carlo.
Przede wszystkim warto pamiętać o kilku pomysłach, które nieco doprecyzują, z jakim rodzajem problemów będziemy się borykać. Podczas modelowania dowolnego zjawiska lub okoliczności, która ma miejsce wokół nas (eksperyment, który może być tak prosty, jak rzut monetą lub tak złożony, jak opis ewolucji wody po pęknięciu rury wewnątrz budynku lub jak symulować ruch rozpraszający neutronów w materiał rozszczepialny jądrowy). To modelowanie tego, co może się wydarzyć, odbywa się za pomocą algorytmu (słowo znane w życiu od jakiegoś czasu).
Algorytm to nic innego jak ustalone, zawsze takie same reguły odtwarzające proces. Na przykład, aby dodać, przywrócić, pomnożyć lub podzielić dwie liczby, używamy w każdym przypadku algorytmu (tego, czego uczą nas w szkole), pieczenia ciasta, poruszania się autobusami po mieście, interpretacji piosenki, Wszystko, co robimy (czasami z pewnymi zmianami, w takim przypadku modyfikujemy algorytm) można opisać regułami, algorytmem. Eksperymenty (które modelujemy za pomocą tych algorytmów) można podzielić na dwa podstawowe typy: deterministyczne i losowe (lub probabilistyczne). Jest deterministyczny, gdy jego wynik jest identyczny, o ile zaczynamy od tych samych warunków (jeśli upuścimy przedmiot, wiemy z całkowitą pewnością, że wyląduje na ziemi; jeśli podgrzejemy garnek z wodą, wiemy, że kończy się wrzeniem), choć czasami tak się nie dzieje. Mamy gwarancję tego samego rezultatu, nawet jeśli zrobimy to samo (rzut monetą, wyjmowanie kuli z urny, wiedza, gdzie uderzy piorun). W rzeczywistości tylko zjawiska naturalne mają charakter czysto losowy, gdyż w przypadku monety, kuli z urny itp. wyczuliśmy ich zachowanie, badając wspomnianą monetę lub maszynę wydobywającą kulę. Dlatego mówimy o eksperymentach pseudolosowych (zależnych od jakiegoś artefaktu skonstruowanego przez człowieka) i czysto losowych. Aby jednak uprościć sprawę, w dalszej części nie będziemy dokonywać takiego rozróżnienia. Modelowanie eksperymentów lub zjawisk deterministycznych opiera się na znanej i zamkniętej formule, natomiast segmenty opierają się na generowaniu liczb losowych i analizie związanych z nimi prawdopodobieństw.
Juegos de Cartas
W pracy, w której trzeźwo przeprowadzono dyfuzję cząstek podczas rozszczepienia jądrowego, fizycy biorący udział w projekcie Manhattan ostrzegali, że powoduje to całkowicie losowe zachowanie. W tym celu można wybrać dwie procedury: rozwiązać równania całkowo-różniczkowe regulujące dyspersję, absorpcję i rozszczepienie lub pobrać dane z rzeczywistych eksperymentów. Ani jedno, ani drugie nie było wykonalne (po pierwsze, ponieważ nie wiemy, jak dokładnie rozwiązywać tego typu równania; po drugie, ponieważ oczywiście nie możemy przeprowadzać rozpadów atomowych). Stan Ulam był fanem gier karcianych i obliczania prawdopodobieństwa w celu znalezienia podstępnych metod znalezienia rywala.
Dokładnie, grając w pasjansa, należy zauważyć, że łatwiej było zorientować się w ogólnym wyniku pasjansa, wykonując wielokrotne testy z wykresami i licząc proporcje wyników, niż formalnie obliczyć wszystkie możliwości kombinacji. Jest to wielokrotny test możliwości generowania liczb losowych za pomocą komputera i uzyskiwania wyników. Oczywiście można to zrobić kilka razy, ale komputer może spędzać godziny na wyświetlaniu liczb i w tym czasie przeprowadzać setki, mile, a nawet miliony symulacji. Następnie zdał sobie sprawę, że to samo można zastosować do wnioskowania o zachowaniu zjawiska fizycznego, takiego jak dyfuzja neutronów.
Ulam wyjaśnił ten pomysł Von Neumannowi. Choć początkowo nie był przekonany, z biegiem czasu (i zakładając pewne eksperymenty) stał się prawdziwym fanem zabiegu. Ponieważ wszystko, co robili w Los Álamos było tajne, nadali projektowi numer kodowy, którym jeden z członków grupy ochrzcił Monte Carlo, nawiązując do słynnego kasyna w tym miasteczku. Ostatecznie ruletka generuje liczby losowe (jak wspomniałem wcześniej, fałszywe, ponieważ zależy od mechanizmu mechanicznego, jest to pseudolosowe; w rzeczywistości wielu graczy odniosło ogromne korzyści obserwując zachowanie ruletki i wydedukowanie empirycznego wzoru, który je modelował), choć najwyraźniej Ulam przyjął tę liczbę na „honor” swojego wujka, który nie robił nic innego, jak tylko pożyczał od wszystkich pieniądze, aby tam grać.
W każdym razie metody Monte Carlo miały podstawowe znaczenie dla wymaganych symulacji, choć były dość ograniczone przez ówczesne narzędzia komputerowe (ENIAC). W 1948 r. osiągnięto pierwsze trzeźwo akceptowalne wyniki zachowania jądra rozszczepialnego. W latach pięćdziesiątych metody Monte Carlo odegrały kluczową rolę w opracowaniu bomby wodorowej i stały się popularne w dziedzinie fizyki, fizyki i badań operacyjnych. Dwie główne organizacje odpowiedzialne za finansowanie i rozpowszechnianie informacji na temat tych metod to Rand Corporation i Siły Powietrzne Stanów Zjednoczonych. Od tego czasu nie przestają być udoskonalane i znajdują zastosowanie w najróżniejszych dziedzinach, między innymi w fizyce, medycynie (zwłaszcza obrazach radiograficznych), chemii molekularnej, inżynierii, projektowaniu graficznym, ekonomii i biznesie oraz oczywiście matematyce.
Przykłady
Często wspomina eksperyment igłowy Buffona mający na celu oszacowanie miejsc po przecinku liczby Pi jako prekursora metod Monte Carlo. Jeśli weźmiemy kartkę papieru, na której zaznaczymy kilka równoległych linii w odległości d między nimi (patrz zdjęcie) i upuścimy igłę o długości l 
Prawdopodobieństwo, że igła jest na swoim miejscu, wynosi
Później Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827) zinterpretował tę zależność jako sposób na znalezienie przybliżeń miejsc dziesiętnych liczby Pi. Jak? Wielokrotne pociąganie za igłę i liczenie osób, które pozostały w sytuacji a. Wartość ta podzielona przez całkowitą liczbę rzutów jest bliska wartości prawdopodobieństwa p, a zatem ułatwia również obliczenie Pi:
Oczywiście uzyskane przybliżenie jest bardzo nieefektywne: w ten sposób osiągnięcie 5 poprawnych miejsc po przecinku przy 3400 rzutach wynosi poniżej 1.5%. Wystarczy omówić ideę metod Monte Carlo: ile rzutów, ile podejść.
Kiedy gramy statkami, na początku, dopóki nie „zdefiniujemy” obszarów, na których znajduje się cel, również stosujemy strategię Monte Carlo: „oddajemy” losowe salwy, a im bardziej zdefiniowany jest obszar, na którym znajdują się statki przeciwnik. Podobną procedurę stosuje straż przybrzeżna w celu zlokalizowania prawdopodobnego zniknięcia ludzi lub statków we wrakach statków (patrz na przykład oprogramowanie SAROPS) podczas akcji poszukiwawczo-ratowniczych. Ta symulacja może wygenerować do tysiąca punktów danych, które są losowo rozmieszczone zgodnie ze zmiennymi proporcjonalnymi. Następnie na podstawie analizy tych danych opiera się wzorce wyszukiwania, aby zoptymalizować prawdopodobieństwo rywalizacji i prawdopodobieństwo wykrycia, co łącznie równa się ogólnemu prawdopodobieństwu sukcesu. Ostatecznie posłuży to jako praktyczne zastosowanie rozkładu prawdopodobieństwa w celu szybszego i wygodniejszego zapewnienia metody ratunkowej, która prawdopodobnie będzie skuteczna w ratowaniu życia i optymalizacji zasobów.
W matematyce metody te są stosowane w wielu miejscach, od przybliżania całek lub szacowania rozwiązań do równań, których nie można rozwiązać dokładnie, po określanie, czy liczba setek cyfr jest liczbą pierwszą, czy nie (test pierwszości).
przygody matematyka
Kilka miesięcy temu ukazał się film „Przygody matematyka” (Thor Klein, Niemcy, Polska i Wielka Brytania, 2020) opowiadający o Stanisławie Ulamie i jego pracy z innymi naukowcami w Los Alamos. Powiem więcej, został wydany w kilkunastu krajach, nie licząc naszego. Zgadzam się, że nie jest to film akcji o szybkim tempie, ani film o superbohaterach, ani nie jest to komedia w grupie roboczej ds. bomby atomowej i późniejszej bomby wodorowej, czyli aspektów, nad którymi niektórzy reżyserzy nie zastanowią się dzisiaj, zanim przemówią tak radośnie broni nuklearnej; Paradoksalnie ukazał się w Rosji).
Film powstał na podstawie wydanej w 1984 roku książki Ulama pod tym samym tytułem, która w obu przypadkach nie została opublikowana po hiszpańsku (tematyka naukowa zdaje się nas dusić, podobnie jak języki, więc w tym przypadku jest w nim wszystko). Jednak polecam jeśli będziecie mieli okazję go zdobyć. Jeśli chodzi o film, tutaj jest zwiastun. Na zdjęciu scena, w której Ulam uczy swoich uczniów sztuczek związanych z grami karcianymi w oparciu o rachunek prawdopodobieństwa.
Z pewnością w kolejnych recenzjach będziemy wracać do przypomnienia innych dzieł Ulama, jak choćby spirali, o której z pewnością słyszeliście.
Alfonso Jesús Población Sáez jest profesorem na Uniwersytecie w Valladolid i członkiem Komisji ds. Upowszechniania Hiszpańskiego Królewskiego Towarzystwa Matematycznego (RSME).
ABCdario de las Matemáticas to sekcja, która powstała we współpracy z Komisją ds. Rozpowszechniania RSME.
