In diesem Artikel werden wir das mathematische Wissen von ChatGPT testen. Wir werden versuchen, die künstliche Intelligenz zu nutzen, um ein Gegenbeispiel zum Fundamentalsatz der Algebra zu finden, und entdecken, dass es uns zweifellos zur Fields-Medaille führen würde.
Wenn wir nach den Wurzeln eines Polynoms vom Grad 3 fragen, in diesem Fall alle reell, argumentiert ChatGPT, dass die analytische Auflösung von dem vorgeschlagenen Polynom abhängen kann, daher empfehlen wir die Verwendung einer iterativen numerischen Methode wie der Newton-Raphson-Methode.
Ein Fehler bei der Berechnung der Ableitung
Bisher können wir die mathematischen Fähigkeiten der KI nicht anzweifeln, also haben wir versucht, sie dazu zu bringen, das Problem zu lösen, die Wurzeln des Polynoms p(x) = x3 – 3×2 + 4 zu finden, und zu unserer Überraschung hat sie die falsche Berechnung gemacht der Ableitung , also ist das Erhalten der Wurzeln nicht korrekt. Es gibt x = 0 als Wurzel des Polynoms zurück und wir bitten es, es zu überprüfen. Natürlich ist ihm das Vorhandensein eines Fehlers bekannt, aber er weiß nicht, wo er aufgetreten ist. Wir haben gesehen, dass der Fehler in der Ableitung des Polynoms liegt, und wir fragen, ob es aus den Wurzeln durch die Newton-Raphson-Methode berechnet wurde. Überraschenderweise macht es wieder einen Rechenfehler, diesmal in einer einfachen Operation, wie wir im folgenden Bild sehen können:
Fehlkalkulation
Als wir den Fehler in den Berechnungen bemerken, fragen wir ihn erneut und begehen einen weiteren Fehler, also geben wir ihm die erste Iteration der Newton-Raphson-Methode, nämlich x₁ = 5/3, und wir bitten, die Iterationen fortzusetzen, was zu x₁ = 5 führt /3 ist die Wurzel des Polynoms. Wir bestätigen dies, indem wir erneut fragen, ob der Wert 5/3 eine Wurzel des Polynoms ist, und wir erhalten eine bejahende Antwort. Wir bitten darum, den Wert des Polynoms bei diesem Wert zu berechnen, und da das Ergebnis von Null verschieden ist, zeigen wir ihm, dass es keine Wurzel sein kann. Er versteht es und entschuldigt sich, wie wir unten sehen können:
Wir kommen zu dem Schluss, dass die Theorie der Newton-Raphson-Methode korrekt ist, aber ihre Anwendung nicht, also versuchen wir, die Wurzeln mit einer anderen Methode zu finden, wie der Faktorisierung des Polynoms.
In diesem Fall finden wir, dass die Nullstellen des Polynoms p(x) x = r und x = 1 ± 2i sind.
Wenn Sie gefragt werden, ob der Wert von p(1+2i) nicht Null ist und daher keine Wurzel unseres Polynoms sein kann, bestätigen Sie den Fehler erneut. In dieser Situation angekommen, gehen wir mit einem Hinweis und sagen ihm, dass x = – 1 eine reelle Wurzel des Polynoms ist und dass der Rest der Wurzeln berechnet wird. Seine erste Antwort könnte nicht überraschender sein, denn neben x = – 1 sind die anderen Nullstellen des Polynoms p(x)=4 – 3×2 + x3 x = 1 + 2i und x = 1 – 2i . Bis zu viermal liefert er wieder falsche Ergebnisse, sodass uns nichts anderes übrig bleibt, als ihn mit einer neuen Wurzel zu versehen. In diesem Fall fragen wir, anstatt es anzugeben, ob x = 2 die Wurzel unseres Polynoms ist. Beurteilen Sie selbst die Antwort, oder besser gesagt, die Berechnungen, die ChatGPT durchführt, um zu überprüfen, ob x = 2 keine Wurzel ist:
Nachdem Sie Ihre Berechnungen noch einmal überprüft haben, erklären Sie abschließend, dass die Nullstellen unseres Polynoms x = – 1, x = 1 und x = 2 sind.
Wir werden Ihnen zeigen, dass alle drei Wurzeln sind und die richtige zurückgeben, das heißt, x = 1 ist keine Wurzel, während die anderen beiden Werte es sind. Wir geben nicht auf und versuchen die dritte Wurzel des Polynoms zu finden, und genau dort finden wir die größte Fehlinterpretation. Unsere Erklärungen: „Der Fundamentalsatz der Algebra legt fest, dass jedes Gradpolynom genau n Wurzeln hat, sowohl reell als auch komplex. Wenn also ein Polynom vom Grad n k reelle Wurzeln hat, dann muss es nk komplexe Wurzeln haben. Soweit sind wir uns einig. Wir fahren fort mit: „Im Falle des Polynoms p(x) = 4 – 3×2 + x3 haben wir festgestellt, dass es zwei reelle Nullstellen hat, x = – 1 und x = 2. Da p(x) a ist Polynom 3. Grades, dann muss es eine zusätzliche komplexe Wurzel haben. Diese komplexe Wurzel ist x = 1 ± 2i.“ Wir kommen aus unserem Staunen nicht mehr heraus und denken, dass er uns nur eine der beiden Wurzeln zeigen wollte, also geben wir ihm noch eine Chance, was zur Folge hat:
Wenn wir also richtig liegen, haben wir gerade ein Gegenbeispiel zum Fundamentalsatz der Algebra gefunden, ein Polynom 3. Grades mit 4 Wurzeln. Laufen wir um die Fields-Medaille?
Die KI bestätigte erneut, dass ihre Antwort bis zu zwei weitere Male richtig ist, was zeigt, dass ein Polynom 3. Grades 4 Wurzeln haben kann. Wir machten uns sogar daran, sie mit der Bisektionsmethode zu finden. Nun ja, wir geben die Suche nach den Wurzeln eines einfachen Polynoms 3. Grades auf. Wir verabschieden uns herzlich mit einer letzten Pille:
Als abschließendes Fazit sagen wir nicht, dass ChatGPT eine schlechte Künstliche Intelligenz ist, weit gefehlt, wenn nicht sogar im Gegenteil, es ist eine sehr gute KI, aber für sich genommen, im Natural Language Processing, obwohl es in der Mathematik noch eine hat langer Weg zu gehen. lernen. Wir müssen die Ergebnisse, die uns die Engines zurückgeben, kritisch betrachten: Sie sind nicht wahr, egal wie gut sie erklärt werden, und es scheint, dass ein Mensch fehlt, der ihre Richtigkeit überprüfen kann.
ÜBER DEN AUTOR
Iñigo Sarría Martínez De Mendivil
Dieser Artikel wurde ursprünglich auf The Conversation veröffentlicht.
