– Dừng việc tìm kiếm lại! Ủy viên MacCarnigan kêu lên: “Cuối cùng chúng tôi đã tìm thấy nó”.
– Thưa ông, cho ai? - Thiếu úy Pierron hỏi.
– Gửi tới một trong những tên vô lại khó nắm bắt nhất mà bạn có thể tưởng tượng. Tôi đã tìm kiếm nó gần 50 năm.
- Tôi không biết, thưa ngài ủy viên. Nó là về ai?
– Số của anh ấy là Ein Stein và tôi phải mất gần cả cuộc đời mới tìm được anh ấy.
- Nó là về ai? Bạn có bức ảnh nào của mình ở đó không?
– Vâng, tôi có nó đây, trông nó thế này đây, nhưng đừng để vẻ ngoài ngây thơ của nó đánh lừa, quý ông nhỏ bé này đã khiến chúng ta hồi hộp gần chục năm nay.
MacCarnigan sau đó cho Đặc vụ Pierron xem bức ảnh của Ein Stein, bức ảnh này:
Ở Stein.
Câu chuyện ngắn gọn về cảnh sát này có vẻ giống như một trò đùa, nhưng nếu chúng ta đổi thám tử bằng các nhà toán học, nó sẽ trở thành một trong những khám phá toán học tuyệt vời nhất từng được trải nghiệm trong những năm gần đây. Nhưng để hiểu được phạm vi của câu chuyện này, trước tiên chúng ta phải nói về một trong những lĩnh vực mà toán học và nghệ thuật hợp nhất: tranh khảm.
Báo khảm
Tất cả chúng ta đều đã nhìn thấy một bức tranh khảm vào một thời điểm nào đó trong đời. Đây là những tác phẩm nghệ thuật hoặc trang trí nhỏ được làm bằng những mảnh nhỏ ghép lại với nhau.
Một số ví dụ về khảm
Khi nói về tranh ghép trong toán học, chúng ta thường đề cập đến cái được gọi là tessellations, là một cách sắp xếp các mảnh hoặc ô sao cho các mảnh này có các cạnh chung và không để lại lỗ hổng.
Cách đây rất lâu, các nhà toán học đã tự hỏi mình câu hỏi sau:
Tôi có thể trang trí máy bay bằng những loại mảnh nào?
Nghĩa là, tôi có thể sử dụng loại miếng nào cho việc đó, đặt chúng sao cho các viên gạch chạm vào các mặt chung, không có khoảng trống trên mặt phẳng. Rõ ràng các vòng tròn không nằm trong nhóm được chọn này, vì nếu tôi muốn xếp mặt phẳng chỉ bằng các vòng tròn thì sẽ còn lại những khoảng trống. Thôi nào, tôi sẽ phải trát vữa cố định.
Vòng tròn để lại khoảng trống
Tuy nhiên, có nhiều hình khác mà chúng ta có thể sắp xếp mặt phẳng, chẳng hạn như hình tam giác, hình vuông hoặc hình lục giác.
Tessellation với một đa giác đều
Hoặc chúng ta có thể xếp mặt phẳng bằng sự kết hợp của những hình này hoặc hình khác.
Tessellation với một số đa giác thông thường
Hoặc bạn thậm chí có thể trang trí máy bay bằng những sự kết hợp xa hoa hơn:
Các tessellations có thể có khác
Nhưng anh ấy đã xem xét rất nhiều loại tessellation mà anh ấy đã trình bày, tất cả chúng đều có điểm chung, đó là chúng có tính tuần hoàn. Thuật ngữ định kỳ đề cập đến thực tế là có một số bản dịch, khác với số 0, khiến toàn bộ bức tranh khảm giống nhau. Theo những gì chúng tôi hiểu, nó tương đương với việc nếu chúng ta lát một bề mặt, làm gốm mắt và ai đó di chuyển toàn bộ bức tranh khảm theo một hướng cụ thể rồi che mắt lại, chúng ta sẽ không thể đánh giá được sự khác biệt giữa bức tranh khảm ban đầu và bức tranh bị dịch chuyển. một.
Tranh khảm không có báo
Ngược lại với các tessellation định kỳ, chúng ta thấy các tessellation không định kỳ, là những tessellation không có bản dịch, không phải null, khiến cho bức tranh khảm có hình dáng giống nhau. Không khó để tìm thấy những bức tranh khảm không định kỳ, chẳng hạn, chỉ cần lấy một bức tranh ghép định kỳ, chẳng hạn, hãy nghĩ đến một bức tranh chỉ được hình thành bởi các hình vuông và chúng ta chia một hình vuông duy nhất của toàn bộ bức tranh khảm thành hai hình tam giác. Rõ ràng nó vẫn là một tessellation của mặt phẳng, nhưng sẽ không có bản dịch nào khiến toàn bộ tessera giống nhau vì chúng ta sẽ có thể phân biệt giữa bức khảm ban đầu và bức khảm bị dịch chuyển của nó bằng cách chỉ quan sát vị trí đã được sửa đổi của hai hình tam giác.
Khảm định kỳ
Nhưng bây giờ là lúc mọi thứ trở nên thú vị, bởi vì đó là lúc khái niệm khảm không tuần hoàn xuất hiện, đó là những khái niệm có tính tuần hoàn, không thỏa mãn điều kiện bổ sung là chúng không có các vùng lớn tùy ý có tính tuần hoàn. Theo cách tương tự, ý tưởng này có thể được nghe thấy như trong một bức tranh khảm định kỳ, nếu chúng ta lấy một mảnh đủ lớn, nó sẽ không lặp lại ở phần còn lại của bức tranh khảm. Đảm bảo rằng mẫu khảm mà không có định kỳ nào mô tả trước đó không phải là mẫu tuần hoàn vì chúng ta có thể tìm thấy các vùng lớn tùy ý có tính tuần hoàn, chỉ cần lấy các mảnh lớn tùy ý không bao gồm một trong hai hình tam giác.
Vì vậy, câu hỏi tự nhiên nảy sinh là:
Có khảm định kỳ không?
Câu hỏi này, bắt đầu được thảo luận vào nửa sau của thế kỷ trước, đã sớm nhận được câu trả lời khẳng định và một trong những người đầu tiên tìm ra hiện tượng tessellation không định kỳ là Raphael M. Robinson. Bức tranh khảm được Robinson mô tả năm 1971 được tạo thành từ 6 viên gạch liên tiếp nhau.
Gạch Robinson
Vài năm sau, cũng vào những năm 70, Roger Penrose đã thu được hai viên gạch không tuần hoàn có thể chế tạo được, mỗi viên chỉ sử dụng hai viên gạch khác nhau. Tessellation đầu tiên được tạo thành từ hai hình thoi khác nhau:
Penrose tesserae (hình thoi)
Bạn có thể sản xuất tranh khảm như sau:
Khảm Penrose
Vòng tròn thứ hai trong số các vòng tuần hoàn này được tạo ra bởi hai mảnh được gọi là sao chổi và mũi tên, vì những lý do hiển nhiên:
Penrose tesserae (diều và mũi tên)
Vâng, có câu hỏi rằng một cây trồng có thể như sau:
Có những bức tranh khảm định kỳ được tạo thành từ một viên gạch duy nhất không?
Bài toán này được gọi là bài toán Ein Stein (từ tiếng Đức có nghĩa là “một hòn đá”) và trong gần 50 năm nó vẫn chưa được giải quyết. Cho đến tháng XNUMX năm ngoái!
Sự khám phá của Ein Stein
Vào ngày 20 tháng XNUMX, các nhà khoa học David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan và Chaim Goodman-Strauss từ các trường Đại học Cambridge, Waterloo và Arkansas đã xuất bản tác phẩm 'An a Periodic monotile', trong đó họ mô tả một dạng khả dĩ của một dạng được tìm kiếm như vậy. -sau viên gạch tạo ra một bức tranh khảm định kỳ với một mảnh độc đáo.
Ngói được mô tả bởi Smith, Myers, Kaplan và Goodman-Strauss
Với viên gạch đơn này, theo ý kiến của tôi trông rất giống một chiếc áo phông, nó cho thấy có thể tạo ra những bức tranh khảm định kỳ như sau:
Khảm định kỳ của gạch
Nếu tò mò về chủ đề này, bạn có thể tìm hiểu sâu hơn về khám phá này trong video sau,
trong đó những người phát hiện ra nó nói chuyện với những người có liên quan khác trong khu vực, bao gồm cả giải Nobel Vật lý Roger Penrose.
Toán học ABCdario de las là một phần phát sinh từ sự hợp tác với Ủy ban Phổ biến của Hiệp hội Toán học Hoàng gia Tây Ban Nha (RSME).
THÔNG TIN VỀ CÁC TÁC GIẢ
Victor M. Manero
