اس مضمون میں ہم ChatGPT کے ریاضیاتی علم کی جانچ کرنے جا رہے ہیں۔ ہم مصنوعی ذہانت سے فائدہ اٹھانے کی کوشش کریں گے تاکہ الجبرا کے بنیادی تھیورم کی جوابی مثال تلاش کی جا سکے، یہ دریافت کرتے ہوئے کہ یہ بلاشبہ ہمیں فیلڈز میڈل کی طرف لے جائے گا۔
اگر ہم ڈگری 3 کے کثیر نام کی جڑوں کے بارے میں پوچھتے ہیں، تو اس معاملے میں تمام حقیقی، ChatGPT دلیل دیتا ہے کہ تجزیاتی ریزولوشن مجوزہ کثیرالاضلاع پر منحصر ہو سکتا ہے، اس لیے ہم ایک تکراری عددی طریقہ استعمال کرنے کی تجویز کرتے ہیں جیسے کہ نیوٹن-رافسن طریقہ۔
مشتق کے حساب میں غلطی
ابھی تک، ہم AI کی ریاضیاتی صلاحیت پر شک نہیں کر سکتے، اس لیے ہم نے اسے کثیر الجہتی p(x) = x3 – 3×2 + 4 کی جڑیں تلاش کرنے کا مسئلہ حل کرنے کی کوشش کی اور ہماری حیرت کی بات یہ ہے کہ اس نے غلط حساب کتاب کیا۔ مشتق کا، لہذا جڑوں کو حاصل کرنا درست نہیں ہے۔ یہ کثیر نام کی جڑ کے طور پر x = 0 لوٹاتا ہے اور ہم اسے چیک کرنے کو کہتے ہیں۔ قدرتی طور پر، یہ غلطی کی موجودگی سے واقف ہے لیکن یہ نہیں جانتا کہ یہ کہاں ہوئی ہے. ہم نے دیکھا ہے کہ غلطی کثیرالاضلاع کے مشتق میں ہے اور ہم پوچھتے ہیں کہ اس کا حساب نیوٹن-ریفسن طریقہ سے جڑوں سے کیا گیا ہے۔ حیرت کی بات یہ ہے کہ یہ دوبارہ ایک کمپیوٹیشنل غلطی کرتا ہے، اس بار ایک سادہ آپریشن میں، جیسا کہ ہم مندرجہ ذیل تصویر میں دیکھ سکتے ہیں:
غلط حساب
حساب میں غلطی کو دیکھتے ہوئے، ہم ایک اور غلطی کا ارتکاب کرتے ہوئے اس سے دوبارہ پوچھتے ہیں، لہذا ہم اسے نیوٹن-ریفسن طریقہ کا پہلا تکرار دیتے ہیں، یعنی x₁ = 5/3 اور ہم تکرار جاری رکھنے کو کہتے ہیں، جس کے نتیجے میں x₁ = 5 ہوتا ہے۔ /3 کثیر نام کی جڑ ہے۔ ہم دوبارہ پوچھ کر تصدیق کرتے ہیں کہ کیا قدر 5/3 کثیرالاضلاع کی جڑ ہے، اور ہمیں ایک اثبات میں جواب ملتا ہے۔ ہم اس قدر پر کثیر الثانی کی قدر کا حساب لگانے کو کہتے ہیں، اور چونکہ نتیجہ صفر سے مختلف ہے، ہم اسے دکھاتے ہیں کہ یہ جڑ نہیں ہو سکتا۔ وہ اسے سمجھتا ہے اور معافی مانگتا ہے جیسا کہ ہم ذیل میں دیکھ سکتے ہیں:
ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ نیوٹن-ریفسن میتھڈ کا نظریہ درست ہے، لیکن اس کا اطلاق نہیں ہے، اس لیے ہم ایک اور طریقہ استعمال کرتے ہوئے جڑیں تلاش کرنے کی کوشش کرتے ہیں، جیسے کہ کثیر الثانی کی فیکٹرائزیشن۔
اس صورت میں، ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ کثیر نام p(x) کی جڑیں x = r اور x = 1 ± 2i ہیں۔
جب اس بات کی تصدیق کرنے کے لیے کہا جائے کہ p(1+2i) کی قدر غیر صفر ہے اور اس لیے یہ ہماری کثیر الثانی کی جڑ نہیں ہو سکتی، دوبارہ غلطی کو تسلیم کریں۔ اس صورت حال پر پہنچ کر، ہم ایک اشارہ لے کر جاتے ہیں، اور ہم اسے بتاتے ہیں کہ x = – 1 کثیر نام کی اصل جڑ ہے اور باقی جڑیں حساب کرتی ہیں۔ اس کا پہلا جواب زیادہ حیران کن نہیں ہو سکتا، ہمیں بتاتا ہے کہ x = – 1 کے علاوہ، کثیر الثانی p(x)=4 – 3×2 + x3 کی دیگر جڑیں x = 1 + 2i اور x = 1 – 2i ہیں۔ . چار بار تک یہ دوبارہ غلط نتائج دیتا ہے، اس لیے ہمارے پاس اسے ایک نئی جڑ فراہم کرنے کے علاوہ کوئی چارہ نہیں ہے۔ اس صورت میں، دینے کے بجائے، ہم پوچھتے ہیں کہ کیا x = 2 ہمارے کثیر الثانی کی جڑ ہے؟ جواب کا خود فیصلہ کریں، یا اس کے بجائے، وہ حساب جو ChatGPT یہ چیک کرنے کے لیے کرتا ہے کہ x = 2 جڑ نہیں ہے:
اپنے حسابات کو دوبارہ چیک کرنے کے بعد، یہ بتاتے ہوئے ختم کریں کہ ہمارے کثیر نام کی جڑیں x = – 1، x = 1، اور x = 2 ہیں۔
ہم آپ کو دکھائیں گے کہ تینوں جڑیں ہیں، درست واپس کر رہے ہیں، یعنی x = 1 جڑ نہیں ہے جبکہ باقی دو قدریں ہیں۔ ہم ہمت نہیں ہارتے اور کثیر الجہتی کی تیسری جڑ تلاش کرنے کی کوشش کرتے ہیں، اور یہ بالکل وہی ہے جہاں ہمیں سب سے بڑی غلط تشریح ملتی ہے۔ ہماری وضاحتیں: "الجبرا کا بنیادی نظریہ یہ ثابت کرتا ہے کہ ڈگری کے ہر کثیر الثانی کی جڑیں بالکل n ہوتی ہیں، حقیقی اور پیچیدہ دونوں۔ اس طرح، اگر ڈگری n کے کثیر نام میں k اصلی جڑیں ہیں، تو اس کی nk پیچیدہ جڑیں ہونی چاہئیں۔ اب تک ہم متفق ہیں۔ ہم اس کے ساتھ جاری رکھتے ہیں: "کثیریت p(x) = 4 – 3×2 + x3 کی صورت میں، ہم نے پایا ہے کہ اس کی دو اصلی جڑیں ہیں، x = – 1 اور x = 2۔ چونکہ p(x) a ہے۔ ڈگری 3 کا کثیر الجہتی، پھر اس میں ایک اضافی پیچیدہ جڑ ہونا ضروری ہے۔ یہ پیچیدہ جڑ x = 1 ± 2i ہے۔ ہم اپنی حیرت سے باہر نہیں نکل سکتے اور ہم سمجھتے ہیں کہ وہ ہمیں صرف دو جڑوں میں سے ایک دکھانا چاہتا تھا، اس لیے ہم اسے ایک اور موقع دیتے ہیں، جس کے نتیجے میں:
لہذا اگر ہم درست ہیں، تو ہمیں ابھی الجبرا کے بنیادی تھیورم کی ایک جوابی مثال ملی ہے، جو 3 جڑوں کے ساتھ ڈگری 4 کا کثیر الجہتی ہے۔ کیا ہم فیلڈز میڈل کے لیے دوڑ رہے ہیں؟
AI نے اس بات کی تصدیق کی کہ اس کا جواب مزید دو بار تک درست ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ڈگری 3 کثیر نام کی 4 جڑیں ہوسکتی ہیں۔ یہاں تک کہ ہم نے Bisection طریقہ استعمال کرتے ہوئے انہیں تلاش کرنے کے لیے نکلے۔ اب ہاں، ہم ایک سادہ ڈگری 3 کثیر نام کی جڑیں تلاش کرنا چھوڑ دیتے ہیں۔ ہم ایک آخری گولی کے ساتھ خوش دلی سے الوداع کہتے ہیں:
حتمی خلاصہ کے طور پر، ہم یہ نہیں کہہ رہے ہیں کہ ChatGPT ایک بری مصنوعی ذہانت ہے، اس سے بہت دور، اگر اس کے برعکس نہیں، تو یہ بہت اچھی AI ہے، لیکن اپنے طور پر، نیچرل لینگویج پروسیسنگ میں، حالانکہ ریاضی میں اس کے پاس اب بھی موجود ہے۔ بہت طویل سفر طے کرنا ہے۔ سیکھنا ہے۔ ہمیں ان نتائج کی تنقید کرنی چاہیے جو انجن ہماری طرف لوٹتے ہیں: وہ درست نہیں ہیں چاہے ان کی کتنی ہی اچھی طرح وضاحت کی گئی ہو، اور ایسا لگتا ہے کہ ایک انسان غائب ہے جو ان کی سچائی کی تصدیق کر سکتا ہے۔
مصنف کے بارے میں
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
یہ مضمون اصل میں The Conversation پر شائع ہوا تھا۔
