هن آرٽيڪل ۾ اسان ChatGPT جي رياضياتي ڄاڻ کي جانچڻ وارا آهيون. اسان ڪوشش ڪنداسين ته مصنوعي ذهانت جو فائدو وٺي الجبرا جي بنيادي ٿيوريم لاءِ هڪ جوابي مثال ڳولڻ لاءِ، اهو دريافت ڪنداسين ته اهو بلاشڪ اسان کي فيلڊز ميڊل ڏانهن وٺي ويندو.
جيڪڏهن اسان پڇون ٿا هڪ پولينميئل ڊگري 3 جي روٽ بابت، هن معاملي ۾ تمام حقيقي، ChatGPT اسان کي ٻڌائي ٿو ته تجزياتي قرارداد پيش ڪيل پولينميئل تي منحصر ٿي سگهي ٿي، تنهنڪري اسان هڪ ٻيهر عددي طريقو استعمال ڪرڻ جي صلاح ڏيون ٿا جهڙوڪ نيوٽن-رافسن طريقو.
نڪتل جي حساب ۾ هڪ غلطي
هينئر تائين، اسان AI جي رياضياتي صلاحيت تي شڪ نه ٿا ڪري سگهون، تنهنڪري اسان ان کي حاصل ڪرڻ جي ڪوشش ڪريون ٿا ته پولينوميل p(x) = x3 – 3×2 + 4 جي روٽ ڳولڻ جي مسئلي کي حل ڪري ۽ اسان جي حيرانگي جي ڳالهه اها آهي ته اهو حساب ڪتاب ڪري ٿو. غلط. نڪتل آهي، تنهنڪري جڙ حاصل ڪرڻ صحيح ناهي. اهو موٽائي ٿو x = 0 پولينوميل جي روٽ طور ۽ اسان ان کي چيڪ ڪرڻ لاءِ چوون ٿا. قدرتي طور تي، توهان کي غلطي جي وجود جو احساس آهي پر توهان کي خبر ناهي ته اهو ڪٿي ٿيو آهي. اسان ڏٺو آهي ته غلطي پولينميئل جي نڪتل ۾ آهي ۽ اسان پڇون ٿا ته اهو نيوٽن-رافسن طريقي سان روٽ مان ڳڻيو ويو آهي. حيرت انگيز طور تي، هو هن ڀيري هڪ سادي آپريشن ۾ هڪ حسابي غلطي ڪري ٿو، جيئن اسان هيٺ ڏنل تصوير ۾ ڏسي سگهون ٿا:
غلط حساب
حسابن ۾ غلطي کي نظر ۾ رکندي، اسان انهن کان ٻيهر پڇون ٿا، ٻي غلطي ڪري رهيا آهيون، تنهنڪري اسان انهن کي نيوٽن-رافسن ميٿڊ جو پهريون ورجائي ڏيون ٿا، يعني، x₁ = 5/3 ۽ اسان ٻيهر ورجائي جاري رکڻ لاءِ چوندا آهيون، نتيجي ۾ x₁ = 5/3 پولنوميل جو جڙ آهي. اسان ٻيهر پڇڻ سان تصديق ڪريون ٿا ته ڇا قدر 5/3 پولنوميل جو روٽ آهي، ۽ اسان هڪ هاڪاري جواب حاصل ڪريون ٿا. اسان پڇون ٿا ته ان قدر ۾ پولنوميل جي قيمت کي ڳڻڻ لاء، ۽، ڇاڪاڻ ته نتيجو صفر کان مختلف آهي، اسان اهو واضح ڪريون ٿا ته اهو روٽ نٿو ٿي سگهي. هو ان کي سمجهي ٿو ۽ پاڻ کي معاف ڪري ٿو جيئن اسان هيٺ ڏسي سگهون ٿا:
اسان ان نتيجي تي پهتا آهيون ته نيوٽن-رافسن ميٿڊ جو نظريو صحيح آهي، پر ان جو اطلاق نه آهي، تنهنڪري اسان ڪوشش ڪريون ٿا ته جڙ ڳولهڻ لاءِ هڪ ٻيو طريقو استعمال ڪري، جهڙوڪ پولينوميل فيڪٽرائزيشن.
ان صورت ۾، اسان کي معلوم ٿئي ٿو ته پولينوميل p(x) جا جڙ x = r ۽ x = 1 ± 2i آهن.
جڏهن ان کي تصديق ڪرڻ لاءِ چيو ويو ته p(1+2i) جي قيمت صفر کان مختلف آهي ۽ ان ڪري اسان جي پولينوميل جو روٽ نه ٿي سگهي، هو ٻيهر غلطي کي تسليم ڪري ٿو. هڪ دفعو اسان هن صورتحال تي پهچون ٿا، اسان هڪ اشارو سان وڃون ٿا، ۽ اسان ان کي ٻڌايو ته x = - 1 پولينوميل جو هڪ حقيقي جڙ آهي ۽ باقي جڙ حساب ڪن ٿا. هن جو پهريون جواب وڌيڪ حيرت انگيز نه ٿي سگهي، اسان کي ٻڌايو ته x = - 1 کان علاوه، ٻيون پاڙون پاڙون p(x) = 4 - 3 × 2 + x3 x = 1 + 2i ۽ x = 1 - 2i آهن. . اهو چار ڀيرا غلط نتيجا ڏئي ٿو، تنهنڪري اسان وٽ ڪو به اختيار نه آهي پر ان کي نئين روٽ سان مهيا ڪرڻ لاء. انهي صورت ۾، توهان کي ڏيڻ جي بدران، اسان پڇون ٿا ته x = 2 اسان جي پولينوميل جو جڙ آهي. پنهنجو پاڻ لاءِ جواب ڏيو، يا بلڪه، اهي حساب جيڪي ChatGPT انجام ڏئي ٿو تصديق ڪرڻ لاءِ ته x = 2 روٽ ناهي:
حسابن کي ٻيهر چيڪ ڪرڻ کان پوء، وضاحت ڪندي ختم ڪريو ته اسان جي پولينوميل جا جڙ x = - 1، x = 1 ۽ x = 2 آهن.
اسان توهان کي ڏيکارينداسين ته ٽي جڙ آهن، صحيح شيء کي واپس ڪندي، اهو آهي، x = 1 هڪ روٽ نه آهي جڏهن ته ٻيا ٻه قدر آهن. اسان هار نه ٿا ڏيون ۽ ڪوشش ڪرڻ جي ڪوشش ڪريون ٿا ته ٽين جڙ (Polynomial) جي ٽين روٽ کي، ۽ اهو ئي آهي جتي اسان کي تعبير جي سڀ کان وڏي غلطي نظر اچي ٿي. اسان جون وضاحتون: ”الجبرا جو بنيادي ٿيوريم قائم ڪري ٿو ته درجي جي هر پولينوميل جو اصل ۽ پيچيده ٻئي جڙ آهن. اهڙيءَ طرح، جيڪڏهن ڊگري n جي هڪ پوليناميل ۾ k حقيقي جڙ آهن، ته پوءِ ان ۾ nk پيچيده جڙ هجڻ لازمي آهي. هن نقطي تائين اسان متفق آهيون. اسان ان سان جاري رکون ٿا: ”پولنوميل p(x) = 4 – 3×2 + x3 جي صورت ۾، اسان ڏٺو آهي ته ان جا ٻه اصل جڙ آهن، x = – 1 ۽ x = 2. جيئن ته p(x) هڪ آهي. درجا 3 جو پولينوميل، پوءِ ان ۾ اضافي پيچيده روٽ هجڻ لازمي آهي. هي پيچيده روٽ x = 1 ± 2i آهي. اسان پنهنجي حيرانگي کي ختم نه ڪري سگهون ٿا ۽ اسان سوچيو ٿا ته هو صرف اسان کي ٻن جڙڙن مان هڪ ڏيکارڻ چاهي ٿو، تنهنڪري اسان کيس هڪ ٻيو موقعو ڏيون ٿا، نتيجي ۾:
پوء جيڪڏھن اسان صحيح آھيون، اسان کي صرف الجبرا جي بنيادي ٿيوريم جو ھڪڙو مثال مليو آھي، 3 جڙڙن سان درجا 4 جو پولينوميل. ڇا اسان فيلڊ ميڊل لاء تيار آهيون؟
AI ٻيهر تصديق ڪئي ته ان جو جواب ٻن وڌيڪ موقعن تي صحيح آهي، ڏيکاري ٿو ته درجي 3 جي هڪ پولينوميل ۾ 4 جڙ هوندا. اسان انهن کي ڳولڻ جي تجويز پڻ ڪريون ٿا Bisection طريقو استعمال ڪندي. ھاڻي، اسان ھڪ سادي پولينوميل ڊگري 3 جي پاڙن کي ڳولڻ جاري رکون ٿا. اسان هڪ آخري گولي سان دل سان الوداع چئون ٿا:
حتمي تت جي طور تي، اسان اهو نه چئي رهيا آهيون ته ChatGPT هڪ خراب مصنوعي ذهانت آهي، ان کان پري، صرف ان جي سامهون، اهو هڪ تمام سٺو AI آهي، پر ان جي فيلڊ ۾، قدرتي ٻولي پروسيسنگ ۾، جيتوڻيڪ رياضي ۾ اهو اڃا تائين تمام گهڻو آهي. ڪرڻ. سکڻ. اسان کي انهن نتيجن جي نازڪ هجڻ گهرجي جيڪي انجڻ اسان ڏانهن موٽندا آهن: اهي سچا نه آهن ان کان سواء انهن جي وضاحت ڪئي وئي آهي، ۽ اهو لڳي ٿو ته هڪ انسان جي کوٽ آهي جيڪو انهن جي سچائي جي تصديق ڪري سگهي ٿو.
ليکڪ جي باري ۾
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
هي مضمون اصل ۾ شايع ڪيو ويو The Conversation.
