In questo articolo testeremo la conoscenza matematica di ChatGPT. Proveremo a sfruttare l'intelligenza artificiale per trovare un controesempio al Teorema Fondamentale dell'Algebra, scoprendo che ci lancerebbe senza dubbio verso la Medaglia Fields.
Se chiediamo informazioni sulle radici di un polinomio di grado 3, in questo caso tutte reali, ChatGPT sostiene che la risoluzione analitica può dipendere dal polinomio proposto, quindi consigliamo di utilizzare un metodo numerico iterativo come il metodo Newton-Raphson.
Un errore nel calcolo della derivata
Finora non possiamo dubitare dell'abilità matematica dell'IA, quindi abbiamo provato a farle risolvere il problema di trovare le radici del polinomio p(x) = x3 – 3×2 + 4 e con nostra sorpresa ha sbagliato il calcolo della derivata , quindi ottenere le radici non è corretto. Restituisce x = 0 come radice del polinomio e gli chiediamo di verificarlo. Naturalmente è a conoscenza dell'esistenza di un errore ma non sa dove si è verificato. Abbiamo visto che l'errore è nella derivata del polinomio e chiediamo che sia stato calcolato dalle radici con il metodo di Newton-Raphson. Sorprendentemente, commette nuovamente un errore di calcolo, questa volta in una semplice operazione, come possiamo vedere nell'immagine seguente:
Errore di calcolo
Notando l'errore nei calcoli, glielo chiediamo nuovamente, commettendo un altro errore, quindi gli diamo la prima iterazione del Metodo Newton-Raphson, ovvero, x₁ = 5/3 e chiediamo di continuare le iterazioni, ottenendo x₁ = 5 /3 è la radice del polinomio. Confermiamo chiedendo nuovamente se il valore 5/3 è una radice del polinomio, e otteniamo una risposta affermativa. Chiediamo di calcolare il valore del polinomio a quel valore e, poiché il risultato è diverso da zero, dimostriamo che non può essere una radice. Lo capisce e si scusa come possiamo vedere di seguito:
Concludiamo che la teoria del metodo Newton-Raphson è corretta, ma la sua applicazione non lo è, quindi proviamo a trovare le radici usando un altro metodo, come la fattorizzazione del polinomio.
In questo caso, troviamo che le radici del polinomio p(x) sono x = r e x = 1 ± 2i.
Quando viene chiesto di verificare che il valore di p(1+2i) sia diverso da zero e quindi non possa essere una radice del nostro polinomio, riconoscere nuovamente l'errore. Arrivati a questa situazione, andiamo con un indizio, e gli diciamo che x = – 1 è una radice reale del polinomio e che il resto delle radici calcola. La sua prima risposta non potrebbe essere più sorprendente, dicendoci che oltre a x = – 1, le altre radici del polinomio p(x)=4 – 3×2 + x3 sono x = 1 + 2i e x = 1 – 2i . Fino a quattro volte dà di nuovo risultati errati, quindi non abbiamo altra scelta che fornirgli una nuova radice. In questo caso, invece di darlo, chiediamo se x = 2 è la radice del nostro polinomio. Giudicate voi stessi la risposta, o meglio, i calcoli che ChatGPT esegue per verificare che x = 2 non sia una radice:
Dopo aver ricontrollato i calcoli, concludi spiegando che le radici del nostro polinomio sono x = – 1, x = 1 e x = 2.
Ti mostreremo che tutte e tre le radici sono, restituendo il corretto, cioè x = 1 non è una radice mentre gli altri due valori lo sono. Non ci arrendiamo e cerchiamo di trovare la terza radice del polinomio, ed è proprio qui che troviamo il più grande errore di interpretazione. Le nostre spiegazioni: “Il Teorema Fondamentale dell'Algebra stabilisce che ogni polinomio di grado ha esattamente n radici, sia reali che complesse. Quindi, se un polinomio di grado n ha k radici reali, allora deve avere nk radici complesse. Fin qui siamo d'accordo. Continuiamo con: “Nel caso del polinomio p(x) = 4 – 3×2 + x3, abbiamo trovato che esso ha due radici reali, x = – 1 e x = 2. Poiché p(x) è un polinomio di grado 3, allora deve avere una radice complessa aggiuntiva. Questa radice complessa è x = 1 ± 2i. Non riusciamo a uscire dallo stupore e pensiamo che volesse solo mostrarci una delle due radici, quindi gli diamo un'altra possibilità, ottenendo:
Quindi, se abbiamo ragione, abbiamo appena trovato un controesempio al Teorema Fondamentale dell'Algebra, un polinomio di grado 3 con 4 radici. Ci candidiamo per la Medaglia Fields?
L'IA ha ribadito che la sua risposta è corretta fino ad altre due volte, dimostrando che un polinomio di grado 3 può avere 4 radici. Abbiamo anche deciso di trovarli usando il metodo della bisezione. Ora sì, rinunciamo a cercare le radici di un semplice polinomio di grado 3. Ci salutiamo cordialmente con un'ultima pillola:
In conclusione, non stiamo dicendo che ChatGPT sia una cattiva intelligenza artificiale, tutt'altro, se non proprio il contrario, è un'intelligenza artificiale molto buona, ma di per sé, nell'elaborazione del linguaggio naturale, sebbene in matematica abbia ancora un molta strada da fare. imparare. Dobbiamo essere critici nei confronti dei risultati che i motori ci restituiscono: non sono veri per quanto ben spiegati, e sembra che manchi un essere umano che possa verificarne la veridicità.
CIRCA L'AUTORE
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Questo articolo è stato originariamente pubblicato su The Conversation.
