- Stopje it sykjen! "Op it lêst hawwe wy it fûn," rôp kommissaris MacCarnigan.
– Oan hwa hear? - frege twadde luitenant Pierron.
- Oan ien fan 'e meast ûngrypbere skurken dy't jo jo ea kinne foarstelle. Ik ha der al hast 50 jier nei socht.
– Ik hie gjin idee, kommissaris. Oer wa giet it?
– Syn nûmer is Ein Stein en it hat my hast in libben duorre om him te finen.
- Oer wa giet it? Hawwe jo dêr foto's fan josels?
– Ja, ik haw it hjir krekt, sa sjocht it der út, mar lit it ûnskuldich uterlik net ferrifelje, dizze lytse hear hjir hat ús al hast tsien desennia yn spanning hâlden.
MacCarnigan liet doe Agent Pierron de foto fan Ein Stein sjen, dizze foto:
In Stein.
Dit koarte plysjeferhaal kin lykje as in grap, mar as wy detectives feroarje foar wiskundigen, wurdt it ien fan 'e moaiste wiskundige ûntdekkingen dy't yn' e ôfrûne jierren binne ûnderfûn. Mar om de omfang fan dit ferhaal te begripen moatte wy earst prate oer ien fan de mêden dêr't wiskunde en keunst op fusearje: mozaïken.
Mosaic Kranten
Wy hawwe allegear op in stuit yn ús libben in mozayk sjoen. Dit binne lytse artistike of dekorative wurken dy't makke wurde mei lytse stikken dy't byinoar passe.
Guon foarbylden fan mozaïken
As wy prate oer mozaïken yn 'e wiskunde, ferwize wy normaal nei wat bekend is as tessellaasjes, dat is in manier om stikken of tegels te regeljen sadat dizze stikken mienskiplike rânen hawwe en gjin gatten litte.
In lange tiid lyn stelden wiskundigen harsels de folgjende fraach:
Hokker soarte fan stikken kin ik tessellate it fleantúch mei?
Dat is, hokker type stikken kin ik dêrfoar brûke, se pleatse sadat de tegels oan mienskiplike kanten reitsje, d'r binne gjin gatten yn it fleantúch. Dúdlik binne de sirkels net yn dizze selekteare groep, om't as ik it fleantúch wol tegeljen mei allinich sirkels, sille d'r gatten oerbliuwe. Kom op, ik sil fêste grout sette moatte.
Sirkels litte gatten
Der binne lykwols in protte oare figueren wêrmei't wy it fleantúch tesselearje kinne, lykas bygelyks trijehoeken, fjouwerkanten of hexagons.
Tessellaasje mei ien reguliere polygon
Of wy kinne it fleantúch betegele mei kombinaasjes fan dizze of oare sifers.
Tessellaasje mei ferskate reguliere polygonen
Of jo kinne it fleantúch sels tesselearje mei ekstravagante kombinaasjes:
Oare mooglike tessellaasjes
Mar hy hat it grutte ferskaat oan tessellaasjes beskôge dy't er presintearre hat, se hawwe allegear wat mienskiplik, en dat is, se binne periodyk. De term periodyk ferwiist nei it feit dat der wat oersetting is, oars as nul, dy't it hiele mozayk itselde lit. Fan wat wy begripe, is it lykweardich oan dat as wy in oerflak betegele, de eagen keramyk meitsje en immen it hiele mozaïek yn in spesifike rjochting beweecht en dan de eagen wer bedekt, sille wy it ferskil net kinne wurdearje tusken it orizjinele mozaïek en de ferpleatst ien.
Mosaics sûnder kranten
Yn tsjinstelling ta periodike tessellaasjes fine wy net-periodic tessellations, dat binne dejingen dêr't gjin oersetting foar is, net nul, dy't it mozaïek mei itselde uterlik lit. It is net dreech om net-periodike mozaïken te finen, it is genôch om bygelyks in periodike tessellaasje te nimmen, lit ús tinke, bygelyks ien dy't allinich troch kwadraten foarme is, en wy ferdiele ien fjouwerkant fan it heule mozaïek yn twa trijehoeken. Dúdlik is it noch altyd in tessellaasje fan it fleantúch, mar d'r sil gjin oersetting wêze dy't de heule tessera itselde lit, om't wy ûnderskied kinne tusken it orizjinele mozaïek en syn ferpleatse troch gewoan de feroare posysje fan 'e twa trijehoeken te observearjen.
Aperiodic mosaics
Mar no is it wannear't dingen nijsgjirrich wurde, om't it is as it konsept fan aperiodysk mozaïek ferskynt, dat binne dejingen dy't periodyk binne, net foldogge oan de ekstra betingst dat se gjin willekeurich grutte regio's hawwe dy't periodyk binne. Op deselde wize kin dit idee heard wurde as yn in aperiodysk mozaïek, as wy in grut genôch stik nimme, wurdt it net werhelle yn 'e rest fan it mozayk. Soargje derfoar dat it mozaykmonster dat gjin periodyk earder beskriuwt, net aperiodyk is, om't wy willekeurich grutte regio's kinne fine dy't periodyk binne, nim gewoan willekeurige grutte stikken dy't gjin trijehoek omfetsje.
Dus de fraach dy't natuerlik opkomt is dit:
Binne der aperiodyske mozaïken?
Dizze fraach, dy't yn 'e twadde helte fan 'e foarige ieu begûn te besprutsen, krige al gau in befêstigjend antwurd en ien fan 'e earsten dy't in aperiodyske tessellaasje fûn wie Raphael M. Robinson. It mozayk beskreaun troch Robinson yn 1971 bestie út 6 opienfolgjende tegels.
Robinson tegels
In pear jier letter, ek yn 'e jierren '70, krige Roger Penrose twa aperiodyske tegels dy't konstruearre wurde koenen, elk mei mar twa ferskillende tegels. De earste fan dizze tessellaasjes is opboud út twa ferskillende rhombuses:
Penrose tesserae (Rhombuses)
Jo kinne mosaïken produsearje as sadanich:
Penrose Mosaic
De twadde fan dizze aperiodyske tessellaasjes wurdt jûn troch twa stikken bekend as de komeet en de pylk, om foar de hân lizzende redenen:
Penrose tesserae (kite en pylk)
No, d'r is de fraach dat in plantar as folgjend kin wêze:
Binne d'r aperiodyske mozaïken makke fan ien tegel?
Dit probleem is bekend as it Ein Stein-probleem (út it Dútsk foar "in stien") en foar hast 50 jier is it net oplost bleaun. Oant ferline maart!
De ûntdekking fan Ein Stein
Op 20 maart publisearren wittenskippers David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan en Chaim Goodman-Strauss fan 'e universiteiten fan Cambridge, Waterloo en Arkansas it wurk 'An aperiodic monotile' wêryn't se in mooglike foarm fan 'e socht beskreau. -na tegel dat jout oanlieding ta in aperiodic mozayk mei in unyk stik.
Tile beskreaun troch Smith, Myers, Kaplan en Goodman-Strauss
Mei dizze inkele tegel, dy't neffens my tige op in T-shirt liket, lit it sjen dat aperiodyske mozaïken lykas de folgjende kinne wurde boud:
Aperiodysk mozaïek fan in tegel
As jo nijsgjirrich binne oer it ûnderwerp, kinne jo djipper yn dizze ûntdekking dûke yn 'e folgjende fideo,
wêryn syn ûntdekkers prate mei oare relevante minsken yn it gebiet, wêrûnder de Nobelpriis foar natuerkunde Roger Penrose.
De ABCdario de las Mathematics is in seksje dy't ûntstiet út de gearwurking mei de disseminaasjekommisje fan 'e Royal Spanish Mathematical Society (RSME).
OER DE SKRIUWER
Victor M. Manero
