– Zastavte hledání! "Konečně jsme to našli," zvolal komisař MacCarnigan.
– Komu, pane? zeptal se podporučík Pierron.
– Na jednoho z nejnepolapitelnějších darebáků, jakého si dokážete představit. Sháním to skoro 50 let.
– Neměl jsem tušení, pane komisaři. O koho jde?
– Jeho číslo je Ein Stein a trvalo mi skoro celý život, než jsem ho našel.
- O koho jde? Máš tam nějaké své fotky?
– Ano, mám to tady, takhle to vypadá, ale nenechte se zmást jeho nevinným vzhledem, tenhle malý pán nás tady drží v napětí už skoro deset desetiletí.
MacCarnigan poté ukázal agentu Pierronovi fotografii Eina Steina, tuto fotografii:
Ve Stein.
Tento krátký policejní příběh se může zdát jako vtip, ale pokud vyměníme detektivy za matematiky, stane se jedním z nejúžasnějších matematických objevů, které byly v posledních letech zažity. Abychom však porozuměli rozsahu tohoto příběhu, musíme nejprve mluvit o jednom z oborů, ve kterém se matematika a umění snoubí: o mozaice.
Mozaikové noviny
Všichni jsme někdy v životě viděli mozaiku. Jedná se o malá umělecká nebo dekorativní díla, která jsou vyrobena pomocí malých kusů, které do sebe zapadají.
Některé příklady mozaiky
Když mluvíme o mozaice v matematice, obvykle se odkazujeme na to, co je známé jako teselace, což je způsob uspořádání kusů nebo dlaždic tak, aby tyto kusy měly společné okraje a nezanechávaly díry.
Před dlouhou dobou si matematici kladli následující otázku:
Jakými typy kousků mohu poskládat letadlo?
Tedy jaký typ dílků k tomu mohu použít, umístit je tak, aby se dlaždice dotýkaly společnými stranami, v rovině nebyly žádné mezery. Je zřejmé, že kruhy nejsou v této vybrané skupině, protože pokud chci dlaždici roviny pouze pomocí kruhů, zůstanou mezery. Pojď, budu muset dát pevnou spárovací hmotu.
Kruhy zanechávají mezery
Existuje však mnoho dalších obrazců, kterými můžeme rovinu mozaikovat, jako jsou například trojúhelníky, čtverce nebo šestiúhelníky.
Teselace s jedním pravidelným mnohoúhelníkem
Nebo můžeme rovinu obložit kombinací těchto či jiných figurek.
Teselace s několika pravidelnými mnohoúhelníky
Nebo můžete letadlo dokonce poskládat extravagantnějšími kombinacemi:
Další možné teselace
Ale vzal v úvahu velkou rozmanitost teselací, které představil, všechny mají něco společného, a to, že jsou periodické. Termín periodický odkazuje na skutečnost, že existuje nějaký překlad, jiný než nula, který ponechává celou mozaiku stejnou. Z toho, co jsme pochopili, je to ekvivalentní tomu, že když obložíme povrch, zkeramikujeme oči a někdo posune celou mozaiku určitým směrem a pak oči znovu zakryje, nebudeme schopni ocenit rozdíl mezi původní mozaikou a posunutou mozaikou. jeden.
Mozaiky bez novin
Na rozdíl od periodických teselací najdeme neperiodické mozaiky, což jsou ty, pro něž neexistuje žádný překlad, nikoli nula, která zanechává mozaiku stejný vzhled. Najít neperiodické mozaiky není těžké, stačí například vzít periodickou mozaiku, uvažujme třeba takovou tvořenou pouze čtverci, a jediný čtverec celé mozaiky rozdělíme na dva trojúhelníky. Je zřejmé, že je to stále mozaika roviny, ale nebude existovat žádný překlad, který by celou tesseru ponechal stejný, protože budeme schopni rozlišit mezi původní mozaikou a její posunutou mozaikou pouhým pozorováním změněné polohy dvou trojúhelníků.
Aperiodické mozaiky
Ale teď je to, když věci začínají být zajímavé, protože právě tehdy se objevuje koncept aperiodické mozaiky, což jsou ty, které, protože jsou periodické, nesplňují zvláštní podmínku, že nemají libovolně velké oblasti, které jsou periodické. Stejně tak lze tuto myšlenku slyšet jako v neperiodické mozaice, pokud vezmeme dostatečně velký dílek, neopakuje se ve zbytku mozaiky. Ujistěte se, že vzorek mozaiky, který dříve žádné periodikum nepopisuje, není aperiodický, protože můžeme najít libovolně velké oblasti, které jsou periodické, stačí vzít libovolně velké kousky, které neobsahují žádný trojúhelník.
Takže přirozeně vyvstává otázka:
Existují aperiodické mozaiky?
Tato otázka, o které se začalo diskutovat v druhé polovině minulého století, se brzy dočkala kladné odpovědi a jedním z prvních, kdo našel aperiodickou teselaci, byl Raphael M. Robinson. Mozaika popsaná Robinsonem v roce 1971 se skládala ze 6 po sobě jdoucích dlaždic.
Robinsonovy dlaždice
O několik let později, také v 70. letech, získal Roger Penrose dva neperiodické dlaždice, které bylo možné sestrojit, z nichž každá používala pouze dvě různé dlaždice. První z těchto teselací se skládá ze dvou různých kosočtverců:
Penrose tesserae (kosočtverce)
Mozaiky můžete vyrábět jako takové:
Mozaika Penrose
Druhá z těchto aperiodických teselací je dána dvěma kusy známými jako kometa a šíp, ze zřejmých důvodů:
Penrose tesserae (drak a šíp)
No, je tu otázka, že plantar by mohl být následující:
Existují aperiodické mozaiky složené z jedné dlaždice?
Tento problém je znám jako problém Ein Stein (z němčiny pro „kámen“) a téměř 50 let zůstal nevyřešen. Až do loňského března!
Objev Ein Stein
Dne 20. března publikovali vědci David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan a Chaim Goodman-Strauss z univerzit v Cambridge, Waterloo a Arkansasu dílo „An aperiodický monotil“, ve kterém popsali možnou formu hledaného -po dlaždici, která dává vzniknout neperiodické mozaice s jedinečným kouskem.
Dlaždice popsaná Smithem, Myersem, Kaplanem a Goodman-Straussem
S touto jedinou dlaždicí, která podle mého názoru vypadá velmi podobně jako tričko, ukazuje, že lze stavět aperiodické mozaiky, jako jsou následující:
Aperiodická mozaika dlaždice
Pokud vás téma zajímá, můžete se do tohoto objevu ponořit hlouběji v následujícím videu,
ve kterém jeho objevitelé mluví s dalšími relevantními lidmi v této oblasti, včetně Nobelovy ceny za fyziku Rogera Penrose.
ABCdario de las Mathematics je sekce, která vznikla ve spolupráci s Diseminační komisí Královské španělské matematické společnosti (RSME).
O AUTOROVI
Victor M. Manero
