В тази статия ще тестваме математическите знания на ChatGPT. Ще се опитаме да се възползваме от предимствата на изкуствения интелект, за да намерим контрапример на фундаменталната теорема на алгебрата, откривайки, че това несъмнено ще ни изстреля към медала на Фийлдс.
Ако попитаме за корените на полином от степен 3, в този случай всички реални, ChatGPT твърди, че аналитичната резолюция може да зависи от предложения полином, така че препоръчваме използването на итеративен числен метод като метода на Нютон-Рафсън.
Грешка в изчисляването на производната
Досега не можем да се съмняваме в математическите способности на AI, затова се опитахме да го накараме да реши проблема с намирането на корените на полинома p(x) = x3 – 3×2 + 4 и за наша изненада той направи грешно изчисление на производната , така че получаването на корените не е правилно. Той връща x = 0 като корен на полинома и ние го молим да го провери. Естествено, той знае за наличието на грешка, но не знае къде се е появила. Видяхме, че грешката е в производната на полинома и искаме тя да е изчислена от корените чрез метода на Нютон-Рафсън. Изненадващо, той отново прави изчислителна грешка, този път в проста операция, както можем да видим на следното изображение:
Грешно изчисление
Забелязвайки грешката в изчисленията, ние го питаме отново, допускайки друга грешка, така че му даваме първата итерация на метода на Нютон-Рафсън, а именно x₁ = 5/3 и молим да продължи повторенията, което води до x₁ = 5 /3 е коренът на полинома. Потвърждаваме, като питаме отново дали стойността 5/3 е корен на полинома и получаваме утвърдителен отговор. Искаме да изчислим стойността на полинома при тази стойност и тъй като резултатът е различен от нула, показваме, че не може да бъде корен. Той го разбира и се извинява, както можем да видим по-долу:
Ние заключаваме, че теорията на метода на Нютон-Рафсън е правилна, но нейното приложение не е, така че се опитваме да намерим корените, като използваме друг метод, като например факторизацията на полинома.
В този случай намираме, че корените на полинома p(x) са x = r и x = 1 ± 2i.
Когато бъдете помолени да проверите дали стойността на p(1+2i) е различна от нула и следователно не може да бъде корен на нашия полином, отново потвърдете грешката. Стигайки до тази ситуация, отиваме с улика и му казваме, че x = – 1 е истински корен на полинома и че останалите корени изчисляват. Първият му отговор не може да бъде по-изненадващ, казвайки ни, че в допълнение към x = – 1, другите корени на полинома p(x)=4 – 3×2 + x3 са x = 1 + 2i и x = 1 – 2i . До четири пъти отново дава грешни резултати, така че нямаме друг избор освен да му предоставим нов корен. В този случай, вместо да го дадем, ние питаме дали x = 2 е коренът на нашия полином. Преценете сами отговора или по-скоро изчисленията, които ChatGPT извършва, за да провери дали x = 2 не е корен:
След като проверите отново изчисленията си, завършете, като обясните, че корените на нашия полином са x = – 1, x = 1 и x = 2.
Ще ви покажем, че и трите корена са, връщайки правилното, т.е. x = 1 не е корен, докато другите две стойности са. Ние не се отказваме и се опитваме да намерим третия корен на многочлена и точно там намираме най-голямото грешно тълкуване. Нашите обяснения: „Фундаменталната теорема на алгебрата установява, че всеки полином от степен има точно n корена, както реални, така и комплексни. Така, ако полином от степен n има k реални корена, тогава той трябва да има nk комплексни корени. Засега сме съгласни. Продължаваме с: „В случая на полинома p(x) = 4 – 3×2 + x3 открихме, че той има два реални корена, x = – 1 и x = 2. Тъй като p(x) е a полином от степен 3, тогава той трябва да има допълнителен комплексен корен. Този комплексен корен е x = 1 ± 2i.“ Не можем да излезем от учудването си и си мислим, че той е искал да ни покаже само един от двата корена, затова му даваме още един шанс, което води до:
Така че, ако сме прави, току-що намерихме контрапример на основната теорема на алгебрата, полином от степен 3 с 4 корена. Кандидатираме ли се за медала на Фийлдс?
AI потвърди, че нейният отговор е правилен до още два пъти, показвайки, че полином от степен 3 може да има 4 корена. Ние дори се заехме да ги намерим с помощта на метода на разполовяване. Сега да, отказваме се да търсим корените на прост полином от степен 3. Сърдечно се сбогуваме с едно последно хапче:
Като последно обобщение, ние не казваме, че ChatGPT е лош изкуствен интелект, далеч от това, ако не точно обратното, той е много добър AI, но сам по себе си, в обработката на естествен език, въпреки че в математиката все още има дълъг път. Научете. Трябва да бъдем критични към резултатите, които двигателите ни връщат: те не са верни, колкото и добре да са обяснени, и изглежда, че липсва човек, който да провери истинността им.
ЗА АВТОРА
Иниго Сария Мартинес Де Мендивил
Тази статия първоначално е публикувана в The Conversation.
