– 停止搜索！ 我們終於找到了。”麥卡尼根專員驚呼道。
– 誰先生？ 皮龍少尉問道。
“對於你能想像到的最狡猾的盜賊之一。 我已經尋找它近50年了。
– 我不知道，專員。 是關於誰的？
– 他的號碼是愛因斯坦，我花了幾乎一生才找到它。
- 是關於誰的？ 你有你在外面的照片嗎？
– 是的，我就在這裡，這就是它的樣子，但是不要被它無辜的外表所迷惑，這位先生讓我們懸念了近十年。
於是麥卡尼根向皮埃爾特工展示了愛因斯坦的照片，這張照片：
在斯坦因.
這段警察簡史可能看起來像個笑話，但如果我們把偵探換成數學家，那就成為近年來發生的最奇妙的數學發現之一。 但為了理解這個故事的範圍，我們首先必須談談數學和藝術融合的領域之一：馬賽克。
馬賽克報紙
我們在生活中的某個時刻都見過馬賽克。 這些是小型藝術或裝飾作品，由組裝在一起的小部件製成。
馬賽克的一些例子
當我們談論數學中的馬賽克時，我們通常指的是所謂的鑲嵌，這是一種排列碎片或瓷磚的方式，使這些碎片具有共同的邊緣並且不會留下孔洞。
很久以前數學家和數學提出了以下問題
我可以用什麼材料來平鋪飛機？
也就是說，我可以使用什麼類型的部件來實現這一點，將它們放置在一起，使瓷磚在共同的側面相互接觸，計劃中沒有間隙。 顯然，這些圓圈不在這個選擇組中，因為如果我想僅使用圓圈來平鋪平面，它們會給我留下洞。 來吧，我得澆固定水泥漿了。
圓圈留下間隙
然而，我們還可以使用許多其他形狀來平鋪平面，例如三角形、正方形或六邊形。
使用單個正多邊形進行鑲嵌
或者我們可以用這些或其他圖形的組合來平鋪平面。
多個正多邊形的鑲嵌
或者你甚至可以用更奢華的組合來平鋪飛機：
其他可能的瓷磚
但你已經思考過你所展示的各種各樣的瓷磚，它們都有一些共同點，那就是它們都是周期性的。 術語“週期性”指的是這樣一個事實：除了零之外，還有一些平移使得整個馬賽克保持不變。 按照我們的理解，這就相當於如果我們把一個表面貼瓷磚，把眼睛陶瓷化，然後有人把整個馬賽克向一個特定的方向移動，然後再把眼睛遮住，我們就無法體會到原來的馬賽克和原來的馬賽克有什麼區別。和流離失所者。
沒有報紙的馬賽克
與週期性平鋪相反，我們發現非週期性平鋪，這些平鋪沒有平移（不是零），使得馬賽克具有相同的外觀。 找到非週期性馬賽克並不難，例如，採用周期性平鋪就足夠了，讓我們考慮一下，例如，僅由正方形形成的馬賽克，整個馬賽克的單個正方形被分成兩個三角形。 顯然，它仍然是平面的鑲嵌，但不會有任何平移使整個鑲嵌保持不變，因為我們只需觀察修改後的位置即可區分原始馬賽克和它的移位馬賽克。兩個三角形。
非週期性平鋪
但現在事情變得有趣了，因為非週期性馬賽克的概念出現了，這些馬賽克雖然不是周期性的，但滿足額外的條件，即它們不具有任意大的周期性區域。 同樣，這個想法可以在非週期性馬賽克中聽到，如果我們取一塊足夠大的塊，它就不會在馬賽克的其餘部分中重複。 確保之前沒有期刊描述的馬賽克樣本不是非週期性的，因為我們可以找到任意大的周期性區域，只需取不包括任何一個三角形的任意大塊即可。
那麼，自然而然出現的問題是：
有非週期性馬賽克嗎？
這個問題從上世紀下半葉開始研究，很快就得到了肯定的答案，拉斐爾·M·羅賓遜（Raphael M. Robinson）是第一個發現非週期性鑲嵌的人之一。 Robinson 在 1971 年描述的馬賽克由 6 個連續的鑲嵌塊組成。
羅賓遜瓷磚
幾年後，也就是 70 世紀 XNUMX 年代，羅傑·彭羅斯 (Roger Penrose) 獲得了兩塊可以建造的非週期性瓷磚，每塊只使用兩種不同的瓷磚。 第一個鑲嵌圖案由兩個不同的菱形形成：
彭羅斯瓷磚（菱形）
您可以這樣製作馬賽克：
彭羅斯平鋪
這些非週期性平鋪中的第二個由稱為風箏和箭頭的兩塊給出，原因顯而易見：
彭羅斯瓷磚（彗星和箭頭）
嗯，有人懷疑足底可能是這樣的：
是否存在由單塊瓷磚形成的非週期性馬賽克？
這個問題被稱為愛因斯坦問題（來自德語，意為“一塊石頭”），近 50 年來一直沒有得到解決。 直到去年三月！
愛因斯坦的發現
20 月 XNUMX 日，來自劍橋大學、滑鐵盧大學和阿肯色大學的科學家大衛·史密斯 (David Smith)、約瑟夫·塞繆爾·邁爾斯 (Joseph Samuel Myers)、克雷格·S·卡普蘭 (Craig S. Kaplan) 和柴姆·古德曼-施特勞斯 (Chaim Goodman-Strauss) 發表了著作《非週期單瓦》，其中他們描述了備受追捧的一種可能的形式。鑲嵌後形成具有獨特部分的非週期性馬賽克。
史密斯、邁爾斯、卡普蘭和古德曼-施特勞斯描述的瓷磚
通過這塊在我看來與 T 卹非常相似的單塊瓷磚，他展示了可以構建如下所示的非週期性馬賽克：
瓷磚的非週期性馬賽克
如果您對這個主題有清醒的好奇心，您可以在以下視頻中更深入地研究這一發現，
其發現者與該領域的其他相關人士進行了交談，其中包括諾貝爾物理學獎得主羅傑·彭羅斯。
ABCdario de las Matemáticas 是與西班牙皇家數學會 (RSME) 傳播委員會合作產生的一個部分。
關於作者
維克多·M·馬內羅
