– 停止搜索！ “我们终于找到了它，”麦卡尼根专员惊呼道。
– 先生，给谁？ ——皮龙少尉问道。
——写给你能想象到的最难以捉摸的恶棍之一。 我已经寻找它近50年了。
– 我不知道，专员。 是关于谁的？
– 他的号码是爱因斯坦，我花了几乎一生才找到他。
- 是关于谁的？ 你有你自己在那里的照片吗？
– 是的，我就在这里，这就是它的样子，但是不要被它无辜的外表所迷惑，这里的这位小绅士让我们悬念了近十年。
麦卡尼根随后向皮埃尔特工展示了爱因斯坦的照片，这张照片：
在斯坦因.
这个简短的警察故事可能看起来像一个笑话，但如果我们把侦探换成数学家，它就成为近年来经历过的最奇妙的数学发现之一。 但为了理解这个故事的范围，我们首先必须谈谈数学和艺术融合的领域之一：马赛克。
马赛克报纸
我们在生活中的某个时刻都见过马赛克。 这些是小型艺术或装饰作品，由组装在一起的小部件制成。
马赛克的一些例子
当我们在数学中谈论马赛克时，我们通常指的是所谓的镶嵌，这是一种排列碎片或瓷砖的方式，使这些碎片具有共同的边缘并且不会留下孔洞。
很久以前，数学家问自己以下问题：
我可以用什么类型的部件来镶嵌平面？
也就是说，我可以使用什么类型的部件来实现这一点，放置它们以使瓷砖接触公共侧面，平面上没有间隙。 显然，圆圈不在此选择组中，因为如果我想仅使用圆圈平铺平面，则会留下间隙。 来吧，我得打固定水泥浆了。
圆圈留下间隙
然而，我们还可以用许多其他图形来细分平面，例如三角形、正方形或六边形。
使用单个正多边形进行镶嵌
或者我们可以用这些或其他图形的组合来平铺平面。
多个正多边形的镶嵌
或者你甚至可以用更奢侈的组合来镶嵌平面：
其他可能的镶嵌
但他考虑到了他所呈现的多种多样的镶嵌图案，它们都有一些共同点，那就是它们都是周期性的。 术语“周期性”指的是这样一个事实：除了零之外，还有一些平移使得整个马赛克保持不变。 按照我们的理解，这相当于如果我们平铺一个表面，陶瓷化眼睛，然后有人将整个马赛克向特定方向移动，然后再次遮住眼睛，我们将无法欣赏到原始马赛克和移位后的马赛克之间的差异一。
没有报纸的马赛克
与周期性镶嵌相反，我们发现非周期性镶嵌，这些镶嵌没有平移（不是空的），使得马赛克具有相同的外观。 找到非周期性马赛克并不困难，例如，采用周期性镶嵌就足够了，让我们考虑一下仅由正方形形成的镶嵌，然后我们将整个马赛克的单个正方形划分为两个三角形。 显然，它仍然是平面的镶嵌，但是不会有任何平移使整个镶嵌保持不变，因为我们只需观察两个三角形的修改位置就能够区分原始马赛克和它的移位马赛克。
非周期性马赛克
但现在事情变得有趣了，因为非周期性马赛克的概念出现了，这些马赛克是周期性的，但不满足额外条件，即它们不具有任意大的周期性区域。 同样，这个想法可以在非周期性马赛克中听到，如果我们取一块足够大的块，它就不会在马赛克的其余部分中重复。 确保之前没有期刊描述的马赛克样本不是非周期性的，因为我们可以找到任意大的周期性区域，只需取不包括任何一个三角形的任意大块即可。
那么自然出现的问题是：
有非周期性马赛克吗？
这个问题在上世纪下半叶就开始讨论，很快就得到了肯定的答案，拉斐尔·M·罗宾逊（Raphael M. Robinson）是第一个发现非周期性镶嵌的人之一。 Robinson 在 1971 年描述的马赛克由 6 块连续的瓷砖组成。
罗宾逊瓷砖
几年后，也就是 70 世纪 XNUMX 年代，罗杰·彭罗斯 (Roger Penrose) 获得了两种可以建造的非周期性瓷砖，每种瓷砖仅使用两种不同的瓷砖。 第一个镶嵌图案由两个不同的菱形组成：
彭罗斯镶嵌（菱形）
您可以这样生成马赛克：
彭罗斯马赛克
这些非周期性镶嵌中的第二个由被称为彗星和箭头的两块给出，原因显而易见：
彭罗斯镶嵌物（风筝和箭）
那么，有一个问题是足底可能如下：
是否有由单块瓷砖组成的非周期性马赛克？
这个问题被称为爱因斯坦问题（来自德语，意为“一块石头”），近 50 年来一直没有得到解决。 直到去年三月！
爱因斯坦的发现
20 月 XNUMX 日，来自剑桥大学、滑铁卢大学和阿肯色大学的科学家戴维·史密斯 (David Smith)、约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯 (Joseph Samuel Myers)、克雷格·S·卡普兰 (Craig S. Kaplan) 和柴姆·古德曼-施特劳斯 (Chaim Goodman-Strauss) 发表了著作《非周期单瓦》，其中他们描述了这种寻求的一种可能形式。 - 瓷砖后形成具有独特部分的非周期性马赛克。
史密斯、迈尔斯、卡普兰和古德曼-施特劳斯描述的瓷砖
在我看来，这块图块看起来与 T 恤非常相似，它表明可以构建如下所示的非周期性马赛克：
瓷砖的非周期性马赛克
如果您对该主题感到好奇，可以在以下视频中更深入地研究这一发现，
其发现者与该领域的其他相关人士进行了交谈，其中包括诺贝尔物理学奖得主罗杰·彭罗斯。
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关于作者
维克多·M·马内罗
