— Припиніть пошуки! Нарешті ми його знайшли, — вигукнув комісар МакКарніган.
– Хто пан? — запитав другий лейтенант П’єррон.
«Одному з найбільш слизьких шахраїв, яких тільки можна уявити. Я шукав його майже 50 років.
– Поняття не мав, комісаре. Про кого йдеться?
– Його номер – Ein Stein, і мені знадобилося майже все життя, щоб знайти його.
- Про кого йдеться? У вас є якісь ваші фото?
– Так, він у мене тут, ось так він виглядає, але нехай вас не вводить в оману його невинний вигляд, цей джентльмен тримав нас у напрузі майже десять десятиліть.
Отже, МакКарніган показав агенту П’єррону фотографію Ейна Штейна, це фото:
У Штейні.
Ця коротка історія поліцейських може здатися жартом, але якщо замінити детективів на математиків, то це стане одним із найпрекрасніших математичних відкриттів, які сталися за останні роки. Але щоб зрозуміти масштаби цієї історії, ми спочатку повинні поговорити про одну зі сфер, у якій зливаються математика та мистецтво: мозаїку.
мозаїчні газети
Усі ми хоч раз у житті бачили мозаїку. Це невеликі художні або декоративні роботи, які виготовлені з використанням невеликих деталей, які підходять один до одного.
Деякі приклади мозаїк
Коли ми говоримо про мозаїку в математиці, ми зазвичай маємо на увазі так звану мозаїку, яка є способом розташування частин або плиток таким чином, щоб ці частини мали спільні краї та не залишали дірок.
Давним-давно математики і математики поставили таке питання
Якими шматками я можу облицювати літак?
Тобто, який тип шматочків я можу для цього використовувати, розташувавши їх так, щоб плитки торкалися один одного спільними сторонами, щоб не було зазорів на площині. Зрозуміло, що кола немає в цій групі вибору, оскільки, якщо я захочу викласти площину лише за допомогою кіл, вони залишать у мене дірки. Давай, мені доведеться залити фіксовану затирку.
кола залишають прогалини
Однак є багато інших форм, за допомогою яких ми можемо облицювати площину, наприклад, трикутники, квадрати або шестикутники.
Мозаїка з одним правильним багатокутником
Або ми можемо викласти площину комбінаціями тих чи інших фігур.
Тесселяція кількома правильними багатокутниками
Або ви навіть можете обкласти площину більш екстравагантними комбінаціями:
Інші можливі плитки
Але ви обміркували велику різноманітність мозаїк, які ви представили, усі вони мають щось спільне, а саме те, що вони періодичні. Термін періодичний стосується того факту, що існує деякий переклад, відмінний від нуля, який залишає всю мозаїку незмінною. З того, що ми розуміємо, це еквівалентно тому факту, що якщо ми викладемо плитку на поверхню, викладемо очі керамікою, і хтось перемістить всю мозаїку в певному напрямку, а потім знову закриє очі, ми не зможемо оцінити різницю між оригінальною мозаїкою і переміщений.
мозаїка без газет
На відміну від періодичних тайлінгів, ми знаходимо неперіодичні тайлінги, тобто ті, для яких немає перекладу, а не нуля, що залишає мозаїку незмінним виглядом. Знайти неперіодичні мозаїки нескладно, достатньо, наприклад, взяти періодичну мозаїку, уявіть, наприклад, що складається тільки з квадратів, а окремий квадрат усієї мозаїки розділений на два трикутники. . Зрозуміло, що це все ще тесселяція площини, але не буде жодного перекладу, який залишить всю мозаїку незмінною, оскільки ми зможемо відрізнити оригінальну мозаїку від її зміщеної, просто спостерігаючи за зміненим положенням мозаїки. два трикутники.
аперіодичне черепиці
Але зараз все стає цікавим, оскільки саме тоді з’являється концепція аперіодичної мозаїки, яка, хоча й не є періодичною, задовольняє додаткову умову: у них немає довільно великих областей, які є періодичними. Таким же чином цю ідею можна почути, як і в аперіодичній мозаїці, якщо ми беремо досить великий шматок, він не повторюється в решті мозаїки. Переконайтеся, що зразок мозаїки, який раніше не описував жоден періодичний видання, не є аперіодичним, оскільки ми можемо знайти як завгодно великі регіони, які є періодичними, просто візьміть довільно великі фрагменти, які не містять жодного трикутника.
Отже, закономірно виникає наступне питання:
Чи існують аперіодичні мозаїки?
Це питання, яке почали вивчати в другій половині минулого століття, незабаром отримало ствердну відповідь і одним з перших знайшов аперіодичну тесселяцію Рафаель М. Робінсон. Мозаїка, описана Робінсоном у 1971 році, складалася з 6 послідовних мозаїк.
плитка Робінзон
Кілька років потому, також у 70-х роках, Роджер Пенроуз отримав дві аперіодичні плитки, які можна було створити, використовуючи лише дві різні плитки. Перша з цих мозаїк утворена двома різними ромбами:
Плитка Пенроуза (ромби)
Виготовити мозаїку можна так:
Плитка Пенроуза
Друга з цих аперіодичних плиток дається двома частинами, відомими як змій і стріла, зі зрозумілих причин:
Плитка Пенроуза (комета і стріла)
Що ж, є сумніви, що плантар може бути наступним:
Чи існують аперіодичні мозаїки, утворені однією плиткою?
Ця проблема була відома як проблема Ейн-Штейна (з німецької означає «камінь») і протягом майже 50 років вона залишалася невирішеною. До березня минулого року!
Відкриття Ейн-Штейна
20 березня вчені Девід Сміт, Джозеф Семюел Майерс, Крейг С. Каплан і Хаїм Гудман-Страус з університетів Кембриджа, Ватерлоо та Арканзасу опублікували роботу «Аперіодичний монотиль», у якій вони описали можливу форму дуже затребуваного після мозаїки, яка породжує аперіодичну мозаїку з унікальним фрагментом.
Плитка описана Смітом, Майєрсом, Капланом і Гудманом-Стросом
За допомогою цієї єдиної плитки, яка, як мені здається, дуже схожа на футболку, він показує, що можна будувати аперіодичні мозаїки, подібні до наступної:
Аперіодична мозаїка плитки
Якщо ваша допитливість до теми є тверезою, ви можете глибше заглибитися в це відкриття в наступному відео,
в якому його першовідкривачі спілкуються з іншими відповідними людьми в цьому регіоні, включно з лауреатом Нобелівської премії з фізики Роджером Пенроузом.
ABCdario de las Matemáticas — це розділ, який виникає в результаті співпраці з Комісією з поширення Королівського іспанського математичного товариства (RSME).
ПРО АВТОРА
Віктор М. Манеро
