Bu yazıda ChatGPT'nin matematiksel bilgisini test edeceğiz. Cebirin Temel Teoremine karşı bir örnek bulmak için yapay zekadan yararlanmaya çalışacağız ve bunun bizi şüphesiz Fields Madalyasına doğru fırlatacağını keşfedeceğiz.
Bu durumda hepsi gerçek olan 3. dereceden bir polinomun köklerini sorarsak, ChatGPT analitik çözünürlüğün önerilen polinoma bağlı olabileceğini öne sürer, bu nedenle Newton-Raphson yöntemi gibi yinelemeli bir sayısal yöntem kullanmanızı öneririz.
Türevin hesaplanmasında bir hata
Şimdiye kadar yapay zekanın matematiksel yeteneğinden şüphe edemeyiz, bu yüzden p(x) = x3 – 3×2 + 4 polinomunun köklerini bulma problemini çözmesini sağlamaya çalıştık ve şaşırtıcı bir şekilde yanlış hesaplama yaptı. türev , bu nedenle kökleri elde etmek doğru değil. Polinomun kökü olarak x = 0 veriyor ve kontrol etmesini istiyoruz. Doğal olarak bir hatanın varlığından haberdardır ama nerede olduğunu bilemez. Hatanın polinomun türevinde olduğunu gördük ve Newton-Raphson yöntemiyle köklerden hesaplandığını soruyoruz. Şaşırtıcı bir şekilde, aşağıdaki görüntüde de görebileceğimiz gibi, bu sefer basit bir işlemle yine bir hesaplama hatası yapıyor:
yanlış hesaplama
Hesaplamalardaki hatayı fark edip, başka bir hata yaparak ona tekrar soruyoruz, bu yüzden ona Newton-Raphson Metodunun ilk yinelemesini, yani x₁ = 5/3 veriyoruz ve yinelemelere devam etmesini istiyoruz, sonuç x₁ = 5 oluyor /3, polinomun köküdür. 5/3 değerinin polinomun kökü olup olmadığını tekrar sorarak onaylıyoruz ve olumlu bir cevap alıyoruz. Polinomun o değerdeki değerini hesaplamasını istiyoruz ve sonuç sıfırdan farklı olduğu için kök olamayacağını gösteriyoruz. Bunu anlıyor ve aşağıda görebileceğimiz gibi özür diliyor:
Newton-Raphson Yöntemi teorisinin doğru olduğu ancak uygulamasının doğru olmadığı sonucuna varıyoruz, bu nedenle polinomun çarpanlara ayrılması gibi başka bir yöntem kullanarak kökleri bulmaya çalışıyoruz.
Bu durumda, p(x) polinomunun köklerinin x = r ve x = 1 ± 2i olduğunu buluruz.
p(1+2i) değerinin sıfır olmadığını ve bu nedenle polinomumuzun bir kökü olamayacağını doğrulamanız istendiğinde, hatayı tekrar onaylayın. Bu duruma geldiğimizde bir ipucu ile gidiyoruz ve ona x = – 1'in polinomun gerçek kökü olduğunu ve diğer köklerin hesapladığını söylüyoruz. x = – 1'e ek olarak, p(x)=4 – 3×2 + x3 polinomunun diğer köklerinin x = 1 + 2i ve x = 1 – 2i olduğunu söyleyen ilk yanıtı daha şaşırtıcı olamazdı. . Dört defaya kadar yine yanlış sonuçlar veriyor, bu yüzden ona yeni bir kök sağlamaktan başka seçeneğimiz yok. Bu durumda vermek yerine polinomumuzun kökü x = 2 mi diye soruyoruz. Cevabı kendiniz değerlendirin veya daha doğrusu ChatGPT'nin x = 2'nin bir kök olmadığını kontrol etmek için yaptığı hesaplamaları değerlendirin:
Hesaplamalarınızı tekrar kontrol ettikten sonra polinomumuzun köklerinin x = – 1, x = 1 ve x = 2 olduğunu açıklayarak bitirin.
Size üç kökün de doğru olduğunu, yani x = 1'in bir kök olmadığını, diğer iki değerin olduğunu göstereceğiz. Pes etmiyoruz ve polinomun üçüncü kökünü bulmaya çalışıyoruz ve tam da burada en büyük yanlış yorumlamayı buluyoruz. Açıklamalarımız: “Cebirin Temel Teoremi, her derece polinomunun hem gerçek hem de karmaşık tam olarak n kökü olduğunu ortaya koyar. Bu nedenle, n dereceli bir polinomun k gerçek kökü varsa, o zaman n karmaşık kökü olmalıdır. Buraya kadar hemfikiriz. Şöyle devam ediyoruz: “p(x) = 4 – 3×2 + x3 polinomunun x = – 1 ve x = 2 olmak üzere iki gerçek kökü olduğunu bulduk. 3. derece polinom, o zaman ek bir karmaşık köke sahip olmalıdır. Bu karmaşık kök x = 1 ± 2i'dir. Şaşkınlığımızdan kurtulamıyoruz ve bize iki kökten sadece birini göstermek istediğini düşünüyoruz, biz de ona bir şans daha veriyoruz ve sonuç:
Öyleyse, eğer haklıysak, Cebirin Temel Teoreminin bir karşı örneğini, 3. dereceden 4 köklü bir polinom bulduk. Fields Madalyası için mi koşuyoruz?
AI, cevabının iki kata kadar doğru olduğunu yeniden teyit ederek, 3. derece bir polinomun 4 kökü olabileceğini gösterdi. Hatta Bisection Method'u kullanarak onları bulmaya başladık. Şimdi evet, basit bir derece 3 polinomunun köklerini aramaktan vazgeçiyoruz. Son bir hapla candan veda ediyoruz:
Son bir özet olarak, ChatGPT'nin kötü bir Yapay Zeka olduğunu söylemiyoruz, tam tersi olmasa bile, çok iyi bir Yapay Zeka olduğunu söylüyoruz, ancak Matematikte hala bir etkisi olmasına rağmen, Doğal Dil İşleme'de kendi başına. yol uzun. öğren. Motorların bize geri döndürdüğü sonuçları eleştirmeliyiz: Ne kadar iyi açıklanırlarsa açıklansınlar doğru değiller ve görünüşe göre bunların doğruluğunu doğrulayabilecek bir insan kayıp.
YAZAR HAKKINDA
Iigo Sarría Martínez De Mendivil
Bu makale ilk olarak The Conversation'da yayınlanmıştır.
