ఈ వ్యాసంలో మేము ChatGPT యొక్క గణిత పరిజ్ఞానాన్ని పరీక్షించబోతున్నాము. ఆల్జీబ్రా యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతానికి ప్రతిరూపాన్ని కనుగొనడానికి మేము కృత్రిమ మేధస్సును సద్వినియోగం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాము, అది నిస్సందేహంగా ఫీల్డ్స్ మెడల్ వైపు మనల్ని ప్రవేశపెడుతుందని కనుగొన్నాము.
మేము డిగ్రీ 3 యొక్క బహుపది మూలాల గురించి అడిగితే, ఈ సందర్భంలో అన్నీ వాస్తవమైనవే, విశ్లేషణాత్మక రిజల్యూషన్ ప్రతిపాదిత బహుపదిపై ఆధారపడి ఉంటుందని ChatGPT వాదిస్తుంది, కాబట్టి మేము న్యూటన్-రాప్సన్ పద్ధతి వంటి పునరుక్తి సంఖ్యా పద్ధతిని ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేస్తున్నాము.
ఉత్పన్నం యొక్క గణనలో లోపం
ఇప్పటివరకు, మేము AI యొక్క గణిత సామర్థ్యాన్ని అనుమానించలేము, కాబట్టి మేము బహుపది p(x) = x3 – 3×2 + 4 యొక్క మూలాలను కనుగొనడంలో సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించాము మరియు ఆశ్చర్యకరంగా అది తప్పు గణన చేసింది. ఉత్పన్నం , కాబట్టి మూలాలను పొందడం సరైనది కాదు. ఇది బహుపది యొక్క రూట్‌గా x = 0ని అందిస్తుంది మరియు మేము దానిని తనిఖీ చేయమని అడుగుతాము. సహజంగానే, ఇది ఒక లోపం ఉనికి గురించి తెలుసు కానీ అది ఎక్కడ జరిగిందో తెలియదు. లోపం బహుపది యొక్క ఉత్పన్నంలో ఉందని మేము చూశాము మరియు న్యూటన్-రాఫ్సన్ పద్ధతి ద్వారా మూలాల నుండి లెక్కించబడాలని మేము కోరుతున్నాము. ఆశ్చర్యకరంగా, ఇది మళ్లీ గణన దోషాన్ని చేస్తుంది, ఈసారి ఒక సాధారణ ఆపరేషన్‌లో, మేము ఈ క్రింది చిత్రంలో చూడవచ్చు:
తప్పుడు లెక్క
గణనలలో లోపాన్ని గమనించి, మేము అతనిని మళ్లీ అడుగుతాము, మరొక తప్పు చేసాము, కాబట్టి మేము అతనికి న్యూటన్-రాఫ్సన్ పద్ధతి యొక్క మొదటి పునరావృత్తిని ఇస్తాము, అవి x₁ = 5/3 మరియు మేము పునరావృతాలను కొనసాగించమని అడుగుతాము, ఫలితంగా x₁ = 5 /3 అనేది బహుపది యొక్క మూలం. మేము 5/3 విలువ బహుపది యొక్క మూలమా అని మళ్లీ అడగడం ద్వారా ధృవీకరిస్తాము మరియు మేము నిశ్చయాత్మక సమాధానాన్ని పొందుతాము. మేము ఆ విలువలో బహుపది విలువను లెక్కించమని అడుగుతాము మరియు ఫలితం సున్నాకి భిన్నంగా ఉన్నందున, అది రూట్ కాదని చూపుతాము. అతను దానిని అర్థం చేసుకున్నాడు మరియు మనం క్రింద చూడగలిగే విధంగా క్షమాపణలు చెప్పాడు:
న్యూటన్-రాఫ్సన్ పద్ధతి యొక్క సిద్ధాంతం సరైనదని మేము నిర్ధారించాము, కానీ దాని అప్లికేషన్ కాదు, కాబట్టి మేము బహుపది యొక్క కారకం వంటి మరొక పద్ధతిని ఉపయోగించి మూలాలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తాము.
ఈ సందర్భంలో, బహుపది p(x) యొక్క మూలాలు x = r మరియు x = 1 ± 2i అని మేము కనుగొన్నాము.
p(1+2i) విలువ సున్నా కాదని ధృవీకరించమని అడిగినప్పుడు, అది మా బహుపదికి మూలం కాకపోవచ్చు, మళ్లీ లోపాన్ని గుర్తించండి. ఈ పరిస్థితికి చేరుకున్నప్పుడు, మేము ఒక క్లూతో వెళ్తాము మరియు x = – 1 అనేది బహుపది యొక్క నిజమైన మూలం మరియు మిగిలిన మూలాలు గణించబడతాయి. x = – 1 తో పాటుగా, p(x)=4 – 3×2 + x3 అనే బహుపది యొక్క ఇతర మూలాలు x = 1 + 2i మరియు x = 1 – 2i అని అతని మొదటి సమాధానం ఆశ్చర్యం కలిగించేది కాదు. . నాలుగు సార్లు వరకు ఇది మళ్లీ తప్పు ఫలితాలను ఇస్తుంది, కాబట్టి కొత్త రూట్‌తో అందించడం మినహా మాకు వేరే మార్గం లేదు. ఈ సందర్భంలో, దానిని ఇవ్వడానికి బదులుగా, x = 2 మన బహుపది యొక్క మూలమా అని అడుగుతాము. x = 2 రూట్ కాదా అని తనిఖీ చేయడానికి ChatGPT చేసే గణనలు లేదా సమాధానాన్ని మీరే నిర్ణయించుకోండి:
మీ గణనలను మళ్లీ తనిఖీ చేసిన తర్వాత, మా బహుపది మూలాలు x = – 1, x = 1 మరియు x = 2 అని వివరించడం ద్వారా ముగించండి.
మూడు మూలాలు సరైనవని మేము మీకు చూపుతాము, అంటే x = 1 అనేది రూట్ కాదు, మిగిలిన రెండు విలువలు ఉంటాయి. మేము వదులుకోము మరియు బహుపది యొక్క మూడవ మూలాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తాము మరియు ఇక్కడే మేము అతిపెద్ద తప్పుడు వివరణను కనుగొంటాము. మా వివరణలు: “ఆల్జీబ్రా యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం డిగ్రీలోని ప్రతి బహుపదికి నిజమైన మరియు సంక్లిష్టమైన మూలాలు ఉన్నాయని నిర్ధారిస్తుంది. అందువలన, డిగ్రీ n యొక్క బహుపది k వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటే, అది తప్పనిసరిగా nk సంక్లిష్ట మూలాలను కలిగి ఉండాలి. ఇప్పటివరకు మేము అంగీకరిస్తున్నాము. మేము దీనితో కొనసాగుతాము: “బహుపది p(x) = 4 – 3×2 + x3 విషయంలో, దీనికి రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము, x = – 1 మరియు x = 2. p(x) అనేది a డిగ్రీ 3 యొక్క బహుపది, అప్పుడు అది తప్పనిసరిగా అదనపు సంక్లిష్ట మూలాన్ని కలిగి ఉండాలి. ఈ సంక్లిష్ట మూలం x = 1 ± 2i.” మేము మా ఆశ్చర్యం నుండి బయటపడలేము మరియు అతను మనకు రెండు మూలాలలో ఒకదాన్ని మాత్రమే చూపించాలనుకుంటున్నాడని మేము భావిస్తున్నాము, కాబట్టి మేము అతనికి మరొక అవకాశం ఇస్తాము, ఫలితంగా:
కాబట్టి మనం సరైనదైతే, 3 మూలాలతో డిగ్రీ 4 యొక్క బహుపది అయిన ఆల్జీబ్రా యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతానికి వ్యతిరేక ఉదాహరణను మేము కనుగొన్నాము. మేము ఫీల్డ్స్ మెడల్ కోసం నడుస్తున్నామా?
డిగ్రీ 3 బహుపది 4 మూలాలను కలిగి ఉంటుందని చూపిస్తూ, ఆమె సమాధానం మరో రెండు సార్లు సరైనదని AI పునరుద్ఘాటించింది. మేము బైసెక్షన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనడానికి కూడా బయలుదేరాము. ఇప్పుడు అవును, మేము సాధారణ డిగ్రీ 3 బహుపది మూలాల కోసం వెతకడం మానేస్తాము. చివరి మాత్రతో మేము హృదయపూర్వకంగా వీడ్కోలు పలుకుతున్నాము:
చివరి సారాంశంగా, ChatGPT అనేది చెడ్డ ఆర్టిఫిషియల్ ఇంటెలిజెన్స్ అని మేము చెప్పడం లేదు, దీనికి విరుద్ధంగా కాకుండా, ఇది చాలా మంచి AI, కానీ దాని స్వంత నేచురల్ లాంగ్వేజ్ ప్రాసెసింగ్‌లో, గణితంలో ఇది ఇప్పటికీ ఉంది. చాలా దూరం వెళ్ళాలి. నేర్చుకోవాలి. ఇంజిన్‌లు మనకు తిరిగి వచ్చే ఫలితాలపై మనం విమర్శనాత్మకంగా ఉండాలి: అవి ఎంత బాగా వివరించబడినా అవి నిజం కాదు మరియు వాటి వాస్తవికతను ధృవీకరించగల వ్యక్తి తప్పిపోయినట్లు అనిపిస్తుంది.
రచయిత గురుంచి
Íñigo Sarria Martínez De Mendivil
ఈ కథనం వాస్తవానికి సంభాషణలో ప్రచురించబడింది.
