– Ustavite iskanje! "Končno smo ga našli," je vzkliknil komisar MacCarnigan.
– Komu gospod? je vprašal nadporočnik Pierron.
– Enemu najbolj izmuzljivega barabe, kar si jih lahko predstavljate. Iskal sem ga skoraj 50 let.
– Nisem imel pojma, komisar. za koga gre
– Njegova številka je Ein Stein in potreboval sem skoraj celo življenje, da sem ga našel.
- Za koga gre? Imate tam kakšno svojo fotografijo?
– Ja, tukaj ga imam, takole izgleda, a naj vas nedolžni videz ne zavede, ta mali gospodič nas drži v napetosti že skoraj deset desetletij.
MacCarnigan je nato agentu Pierronu pokazal fotografijo Eina Steina, to fotografijo:
V Steinu.
Ta kratka policijska zgodba se morda zdi kot šala, a če detektive zamenjamo za matematike, postane eno najlepših matematičnih odkritij, ki smo jih doživeli v zadnjih letih. A da bi razumeli obseg te zgodbe, moramo najprej spregovoriti o enem od področij, na katerih se združujeta matematika in umetnost: mozaiki.
Mozaik časopisov
Vsi smo kdaj v življenju videli mozaik. To so majhna umetniška ali dekorativna dela, ki so narejena iz majhnih kosov, ki se prilegajo skupaj.
Nekaj primerov mozaikov
Ko govorimo o mozaikih v matematiki, običajno govorimo o tako imenovanih teselacijah, kar je način razporejanja kosov ali ploščic, tako da imajo ti deli skupne robove in ne puščajo lukenj.
Pred davnimi časi so si matematiki zastavili naslednje vprašanje:
S katerimi vrstami kosov lahko teseliram letalo?
Se pravi, kakšno vrsto kosov lahko uporabim za to, da jih postavim tako, da se ploščice dotikajo na skupnih straneh, da v ravnini ni vrzeli. Jasno je, da krogi niso v tej izbrani skupini, saj če želim razporediti ravnino samo s krogi, bodo ostale vrzeli. Daj no, bom moral dati fiksno fugirno maso.
Krogi puščajo vrzeli
Vendar pa obstaja veliko drugih figur, s katerimi lahko teseliramo ravnino, kot so na primer trikotniki, kvadrati ali šesterokotniki.
Teselacija z enim pravilnim poligonom
Lahko pa letalo obložimo s kombinacijami teh ali drugačnih figur.
Teselacija z več pravilnimi poligoni
Ali pa lahko letalo celo teselirate z bolj ekstravagantnimi kombinacijami:
Druge možne teselacije
Vendar je upošteval veliko raznolikost teselacij, ki jih je predstavil, vse pa imajo nekaj skupnega, to je, da so periodične. Izraz periodični se nanaša na dejstvo, da obstaja nekaj prevoda, razen ničle, ki pusti celoten mozaik enak. Kolikor razumemo, je to enako, če površino obložimo s ploščicami, oči obložimo s keramiko in nekdo premakne celoten mozaik v določeno smer ter nato ponovno pokrije oči, ne bomo mogli ceniti razlike med originalnim mozaikom in premaknjenim mozaikom. eno.
Mozaiki brez časopisov
V nasprotju s periodičnimi teselacijami najdemo neperiodične teselacije, ki so tiste, za katere ni prevoda, ne ničelnega, zaradi česar je mozaik enak. Neperiodičnih mozaikov ni težko najti, dovolj je, da na primer vzamemo periodično teselacijo, vzemimo za primer tisto, ki jo tvorijo samo kvadrati, in en sam kvadrat celotnega mozaika razdelimo na dva trikotnika. Jasno je, da je še vedno teselacija ravnine, vendar ne bo prevoda, ki bi pustil celotno tesero enako, saj bomo lahko razlikovali med izvirnim mozaikom in njegovim premaknjenim preprosto z opazovanjem spremenjenega položaja obeh trikotnikov.
Aperiodični mozaiki
Zdaj pa stvari postanejo zanimive, saj se takrat pojavi koncept aperiodičnih mozaikov, ki so tisti, ki, ker so periodični, ne izpolnjujejo dodatnega pogoja, da nimajo poljubno velikih regij, ki so periodične. Na enak način lahko to idejo slišimo kot v aperiodičnem mozaiku, če vzamemo dovolj velik kos, se ne ponovi v preostalem mozaiku. Prepričajte se, da vzorec mozaika, ki ga prej ne opisuje nobena periodika, ni aperiodičen, saj lahko najdemo poljubno velika območja, ki so periodična, vzemite samo poljubno velike kose, ki ne vključujejo nobenega trikotnika.
Vprašanje, ki se seveda postavlja, je torej naslednje:
Ali obstajajo aperiodični mozaiki?
To vprašanje, o katerem se je začelo razpravljati v drugi polovici prejšnjega stoletja, je kmalu dobilo pritrdilen odgovor in eden prvih, ki je odkril aperiodično teselacijo, je bil Raphael M. Robinson. Mozaik, ki ga je leta 1971 opisal Robinson, je bil sestavljen iz 6 zaporednih ploščic.
Robinson ploščice
Nekaj let pozneje, prav tako v sedemdesetih, je Roger Penrose dobil dve aperiodični ploščici, ki ju je bilo mogoče sestaviti, pri čemer je bila vsaka z uporabo samo dveh različnih ploščic. Prva od teh teselacij je sestavljena iz dveh različnih rombov:
Penrose tesserae (rombi)
Izdelate lahko takšne mozaike:
Mozaik Penrose
Drugo od teh aperiodičnih teselacij dajeta dva dela, znana kot komet in puščica, iz očitnih razlogov:
Penrose tesserae (zmaj in puščica)
No, vprašanje je, ali bi plantarna lahko bila naslednja:
Ali obstajajo aperiodični mozaiki, sestavljeni iz ene ploščice?
Ta problem je bil znan kot problem Ein Stein (iz nemščine za »kamen«) in je skoraj 50 let ostal nerešen. Do lanskega marca!
Odkritje Ein Steina
20. marca so znanstveniki David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan in Chaim Goodman-Strauss z univerz Cambridge, Waterloo in Arkansas objavili delo 'An aperiodic monotile', v katerem so opisali možno obliko tako iskanega - po ploščici, ki ustvarja aperiodični mozaik z edinstvenim kosom.
Tile, ki so ga opisali Smith, Myers, Kaplan in Goodman-Strauss
S to eno ploščico, ki je po mojem mnenju zelo podobna majici s kratkimi rokavi, dokazuje, da je mogoče zgraditi aperiodične mozaike, kot je naslednji:
Aperiodični mozaik ploščice
Če vas tema zanima, se lahko poglobite v to odkritje v naslednjem videu,
v katerem njegovi odkritelji govorijo z drugimi pomembnimi ljudmi na tem območju, vključno z Nobelovim nagrajencem za fiziko Rogerjem Penrosom.
ABCdario de las Mathematics je oddelek, ki izhaja iz sodelovanja s komisijo za razširjanje Kraljevega španskega matematičnega društva (RSME).
O AVTORJU
Victor M. Manero
