– Zastavte hľadanie! „Konečne sme to našli,“ zvolal komisár MacCarnigan.
– Komu, pane? - spýtal sa podporučík Pierron.
– Jednému z najnepolapiteľnejších darebákov, akých si dokážete predstaviť. Hľadal som to takmer 50 rokov.
– Netušil som, pán komisár. O koho ide?
– Jeho číslo je Ein Stein a trvalo mi takmer celý život, kým som ho našiel.
- O koho ide? Máš tam nejaké svoje fotky?
– Áno, mám to tu, takto to vyzerá, ale nenechajte sa zmiasť nevinným vzhľadom, tento malý pán nás tu drží v napätí už takmer desať desaťročí.
MacCarnigan potom ukázal agentovi Pierronovi fotografiu Eina Steina, túto fotografiu:
V Steine.
Tento krátky policajný príbeh sa môže zdať ako vtip, no ak vymeníme detektívov za matematikov, stane sa jedným z najúžasnejších matematických objavov, aké boli za posledné roky zažité. Aby sme však pochopili rozsah tohto príbehu, musíme najprv hovoriť o jednej z oblastí, v ktorej sa matematika a umenie spájajú: o mozaikách.
Mozaikové noviny
Všetci sme niekedy v živote videli mozaiku. Ide o malé umelecké alebo dekoratívne diela, ktoré sa vyrábajú pomocou malých kúskov, ktoré do seba zapadajú.
Niekoľko príkladov mozaík
Keď hovoríme o mozaikách v matematike, zvyčajne sa odvolávame na to, čo je známe ako teselácie, čo je spôsob usporiadania dielikov alebo dlaždíc tak, aby tieto dieliky mali spoločné okraje a nezanechávali diery.
Už dávno si matematici položili nasledujúcu otázku:
Akými typmi dielikov môžem poskladať lietadlo?
To znamená, aké kusy na to môžem použiť, umiestniť ich tak, aby sa dlaždice dotýkali na spoločných stranách, v rovine neboli žiadne medzery. Je zrejmé, že kruhy nie sú v tejto vybranej skupine, pretože ak chcem položiť rovinu iba pomocou kruhov, zostanú medzery. Poď, budem musieť dať fixnú škárovaciu hmotu.
Kruhy zanechávajú medzery
Existuje však mnoho ďalších obrazcov, pomocou ktorých môžeme rovinu mozaikovať, ako napríklad trojuholníky, štvorce alebo šesťuholníky.
Teselácia s jedným pravidelným mnohouholníkom
Alebo môžeme rovinu obložiť kombináciou týchto alebo iných figúrok.
Teselácia s niekoľkými pravidelnými mnohouholníkmi
Alebo dokonca môžete lietadlo poskladať extravagantnejšími kombináciami:
Ďalšie možné teselácie
Ale zvážil veľkú rozmanitosť teselácií, ktoré predstavil, všetky majú niečo spoločné, a to, že sú periodické. Termín periodický sa vzťahuje na skutočnosť, že existuje nejaký preklad, iný ako nula, ktorý ponecháva celú mozaiku rovnakú. Z toho, čo sme pochopili, je to ekvivalentné tomu, že ak vydláždime povrch, zkeramikujeme oči a niekto posunie celú mozaiku konkrétnym smerom a potom znova zakryje oči, nebudeme schopní oceniť rozdiel medzi pôvodnou mozaikou a posunutou mozaikou. jeden.
Mozaiky bez novín
Na rozdiel od periodických mozaikových mozaikách nájdeme neperiodické mozaiky, čo sú tie, pre ktoré neexistuje preklad, nie je nulový, čo ponecháva mozaiku rovnaký vzhľad. Nie je ťažké nájsť neperiodické mozaiky, stačí napríklad zobrať periodickú mozaiku, predstavme si napríklad takú, ktorú tvoria iba štvorce a jeden štvorček celej mozaiky rozdelíme na dva trojuholníky. Je zrejmé, že je to stále mozaika roviny, ale nebude existovať žiadny preklad, ktorý ponechá celú tesseru rovnakú, pretože budeme schopní rozlíšiť medzi pôvodnou mozaikou a jej posunutou mozaikou jednoducho pozorovaním upravenej polohy dvoch trojuholníkov.
Aperiodické mozaiky
Teraz je však situácia zaujímavá, pretože práve vtedy sa objavuje koncept aperiodickej mozaiky, čo sú tie, ktoré, keďže sú periodické, nespĺňajú dodatočnú podmienku, že nemajú ľubovoľne veľké oblasti, ktoré sú periodické. Rovnako ako v aperiodickej mozaike je možné túto myšlienku počuť, ak vezmeme dostatočne veľký kúsok, neopakuje sa vo zvyšku mozaiky. Uistite sa, že vzorka mozaiky, ktorú žiadne periodikum predtým nepopisuje, nie je aperiodická, pretože môžeme nájsť ľubovoľne veľké oblasti, ktoré sú periodické, stačí vziať ľubovoľne veľké kúsky, ktoré neobsahujú ani jeden trojuholník.
Prirodzene teda vyvstáva táto otázka:
Existujú aperiodické mozaiky?
Táto otázka, o ktorej sa začalo diskutovať v druhej polovici minulého storočia, čoskoro dostala kladnú odpoveď a jedným z prvých, ktorí našli aperiodickú mozaiku, bol Raphael M. Robinson. Mozaiku opísanú Robinsonom v roku 1971 tvorilo 6 po sebe idúcich dlaždíc.
Robinsonove dlaždice
O niekoľko rokov neskôr, tiež v 70. rokoch, získal Roger Penrose dve aperiodické dlaždice, ktoré bolo možné skonštruovať, pričom každá použila iba dve rôzne dlaždice. Prvá z týchto teselácií sa skladá z dvoch rôznych kosoštvorcov:
Penrose tesserae (košoštvorce)
Mozaiky môžete vyrábať ako také:
Penroseova mozaika
Druhá z týchto aperiodických teselácií je zo zrejmých dôvodov daná dvoma kúskami známymi ako kométa a šíp:
Penrose tesserae (draka a šíp)
No, je tu otázka, že plantár by mohol byť takýto:
Existujú aperiodické mozaiky zložené z jednej dlaždice?
Tento problém je známy ako problém Ein Stein (z nemčiny „kameň“) a takmer 50 rokov zostáva nevyriešený. Až do minulého marca!
Objav Ein Stein
Vedci David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan a Chaim Goodman-Strauss z univerzít v Cambridge, Waterloo a Arkansas publikovali 20. marca prácu „An aperiodický monotil“, v ktorej opísali možnú formu hľadanej -po dlaždici, z ktorej vzniká neperiodická mozaika s jedinečným kúskom.
Dlaždica opísaná Smithom, Myersom, Kaplanom a Goodman-Straussom
S touto jedinou dlaždicou, ktorá podľa môjho názoru vyzerá veľmi podobne ako tričko, ukazuje, že sa dajú postaviť aperiodické mozaiky, ako je táto:
Aperiodická mozaika dlaždice
Ak vás téma zaujíma, hlbšie sa do tohto objavu môžete ponoriť v nasledujúcom videu,
v ktorej sa jej objavitelia rozprávajú s ďalšími relevantnými ľuďmi v tejto oblasti, vrátane Nobelovej ceny za fyziku Rogera Penrosa.
ABCdario de las Mathematics je sekcia, ktorá vzniká zo spolupráce s Disseminačnou komisiou Kráľovskej španielskej matematickej spoločnosti (RSME).
O AUTOROVI
Victor M. Manero
