- Прекратить поиски! Наконец-то мы его нашли, — воскликнул комиссар Маккарниган.
– Кто, сэр? — спросил младший лейтенант Пьеррон.
«Одному из самых скользких мошенников, которых только можно себе представить. Я искал его почти 50 лет.
– Я понятия не имел, комиссар. О ком речь?
– Его номер – Эйн Штайн, и мне потребовалась почти целая жизнь, чтобы найти его.
- О ком речь? У вас есть какие-нибудь ваши фотографии?
– Да, он у меня здесь, вот как он выглядит, но пусть вас не смущает его невинный вид, вот этот джентльмен держит нас в напряжении уже почти десять десятилетий.
Итак, Маккарниган показал агенту Пьеррону фотографию Эйна Штайна, вот это фото:
В Штейн.
Эта краткая история полицейских может показаться шуткой, но если поменять детективов на математиков, она станет одним из самых замечательных математических открытий, произошедших за последние годы. Но для того, чтобы понять масштабы этой истории, нам сначала нужно поговорить об одной из областей, в которой сливаются математика и искусство: мозаике.
мозаичные газеты
Все мы хоть раз в жизни видели мозаику. Это небольшие художественные или декоративные работы, которые сделаны из маленьких кусочков, которые соединяются друг с другом.
Несколько примеров мозаики
Когда мы говорим о мозаике в математике, мы обычно имеем в виду то, что известно как мозаика, которая представляет собой способ расположения частей или плиток таким образом, чтобы эти части имели общие края и не оставляли отверстий.
Давным-давно математики и математики поставили следующий вопрос
Какими частями я могу замостить плоскость?
То есть, какие куски можно для этого использовать, располагая их так, чтобы плитки касались друг друга общими сторонами, в плане не было просветов. Ясно, что круги не входят в эту группу выбора, поскольку, если я захочу замостить плоскость, используя только круги, они оставят меня с дырами. Да ладно, мне нужно залить цементный раствор.
круги оставляют пробелы
Однако есть много других форм, которыми мы можем замостить плоскость, например, треугольники, квадраты или шестиугольники.
Мозаика с одним правильным многоугольником
Или мы можем замостить плоскость комбинациями тех или иных фигур.
Мозаика с несколькими правильными многоугольниками
Или вы можете даже замостить самолет более экстравагантными комбинациями:
Другие возможные тайлинги
Но вы обдумали большое разнообразие мозаик, которые вы представили, все они имеют нечто общее, а именно то, что они периодические. Термин «периодический» относится к тому факту, что существует некоторый сдвиг, отличный от нуля, который оставляет всю мозаику неизменной. Из того, что мы понимаем, это равносильно тому, что если мы выложим поверхность плиткой, керамизируем глаза, а кто-то переместит всю мозаику в определенном направлении, а затем снова закроет глаза, мы не сможем оценить разницу между исходной мозаикой. и перемещенный.
мозаика без газет
В отличие от периодических мозаик мы находим непериодические мозаики, то есть те, для которых нет перевода, а не ноль, что оставляет мозаику с тем же видом. Найти непериодические мозаики несложно, достаточно, например, взять периодическую мозаику, допустим, например, образованную только квадратами, и один квадрат всей мозаики разбить на два треугольника . Ясно, что это по-прежнему мозаика плоскости, но не будет переноса, который оставит все тессеры одинаковыми, поскольку мы сможем отличить исходную мозаику от смещенной, просто наблюдая измененное положение двух треугольников.
апериодическая мозаика
Но теперь все становится интереснее, потому что именно тогда появляется понятие апериодической мозаики, которая, хотя и не является периодической, удовлетворяет дополнительному условию, заключающемуся в том, что они не имеют произвольно больших областей, которые являются периодическими. Точно так же эту идею можно услышать, как и в апериодической мозаике, если взять достаточно большой кусок, то она не повторяется в остальной части мозаики. Убедитесь, что мозаичная выборка, которую ранее не описывало ни одно периодическое издание, не является апериодической, поскольку мы можем найти сколь угодно большие области, которые являются периодическими, просто взяв сколь угодно большие части, которые не включают ни один из треугольников.
Итак, естественно возникает следующий вопрос:
Существуют ли апериодические мозаики?
Этот вопрос, который начали изучать во второй половине прошлого века, вскоре получил утвердительный ответ и одним из первых, кто нашел апериодическую мозаику, был Рафаэль М. Робинсон. Мозаика, описанная Робинсоном в 1971 г., состояла из 6 последовательных мозаик.
робинсон плитка
Несколько лет спустя, также в 70-х годах, Роджер Пенроуз получил две апериодические плитки, которые можно было построить, используя только две разные плитки. Первая из этих мозаик образована двумя разными ромбами:
Плитки Пенроуза (ромбы)
Вы можете производить мозаику как таковую:
Плитка Пенроуза
Вторая из этих апериодических мозаик задается двумя частями, известными как воздушный змей и стрела, по очевидным причинам:
Плитки Пенроуза (комета и стрела)
Что ж, есть сомнение, что подошвенный мог быть следующим:
Существуют ли апериодические мозаики, образованные одной плиткой?
Эта проблема известна как проблема Эйна Штейна (от немецкого «камень») и почти 50 лет остается нерешенной. До марта прошлого года!
Открытие Эйн Штайн
20 марта ученые Дэвид Смит, Джозеф Сэмюэл Майерс, Крейг С. Каплан и Хаим Гудман-Штраус из университетов Кембриджа, Ватерлоо и Арканзаса опубликовали работу «Апериодическая моноплитка», в которой описали возможную форму искомой после тессеры, что приводит к апериодической мозаике с уникальным фрагментом.
Плитка, описанная Смитом, Майерсом, Капланом и Гудманом-Штраусом
С помощью этой одиночной плитки, которая, как мне кажется, очень похожа на футболку, он показывает, что можно построить апериодическую мозаику, подобную следующей:
Апериодическая мозаика плитки
Если ваше любопытство к предмету трезво, вы можете углубиться в это открытие в следующем видео,
в котором его первооткрыватели беседуют с другими значимыми людьми в этом районе, в том числе с Нобелевским лауреатом по физике Роджером Пенроузом.
ABCdario de las Matemáticas — это раздел, созданный в сотрудничестве с Комиссией по распространению Королевского математического общества Испании (RSME).
ОБ АВТОРЕ
Виктор М. Манеро
