– Pare a busca! “Finalmente encontrámos”, exclamou o Comissário MacCarnigan.
– Para quem senhor? -perguntou o segundo-tenente Pierron.
– Para um dos canalhas mais esquivos que você poderia imaginar. Venho procurando por isso há quase 50 anos.
– Não fazia ideia, Senhor Comissário. Quem é ele sobre?
– O número dele é Ein Stein e demorei quase uma vida inteira para encontrá-lo.
- Quem é ele sobre? Você tem alguma foto sua aí?
– Sim, tenho aqui mesmo, é assim que parece, mas não se deixe enganar pela sua aparência inocente, este senhorzinho aqui nos mantém em suspense há quase dez décadas.
MacCarnigan então mostrou ao Agente Pierron a foto de Ein Stein, esta foto:
Em Stein.
Esta breve história policial pode parecer uma piada, mas se trocarmos detetives por matemáticos, ela se tornará uma das mais maravilhosas descobertas matemáticas experimentadas nos últimos anos. Mas para compreender o alcance desta história temos primeiro que falar sobre um dos campos em que a matemática e a arte se fundem: os mosaicos.
Jornais Mosaico
Todos nós já vimos um mosaico em algum momento de nossas vidas. São pequenos trabalhos artísticos ou decorativos feitos a partir de pequenas peças que se encaixam.
Alguns exemplos de mosaicos
Quando falamos de mosaicos em matemática normalmente nos referimos ao que é conhecido como tesselações, que é uma forma de organizar peças ou ladrilhos para que essas peças tenham arestas comuns e não deixem buracos.
Há muito tempo, os matemáticos se perguntaram a seguinte pergunta:
Com que tipo de peças posso tesselar o avião?
Ou seja, que tipo de peças posso utilizar para isso, colocando-as de forma que os ladrilhos toquem em lados comuns, não haja frestas no plano. É claro que os círculos não estão neste grupo de seleção, pois se eu quiser colocar o plano lado a lado usando apenas círculos, sobrarão lacunas. Vamos, vou ter que colocar rejunte fixo.
Círculos deixam lacunas
No entanto, existem muitas outras figuras com as quais podemos tesselar o plano, como, por exemplo, triângulos, quadrados ou hexágonos.
Tesselação com um único polígono regular
Ou podemos ladrilhar o plano com combinações destas ou de outras figuras.
Tesselação com vários polígonos regulares
Ou você pode até tesselar o avião com combinações mais extravagantes:
Outras tesselações possíveis
Mas ele considerou a grande variedade de mosaicos que apresentou, todos eles têm algo em comum, ou seja, são periódicos. O termo periódico refere-se ao fato de que existe alguma tradução, diferente de zero, que deixa todo o mosaico igual. Pelo que entendemos, equivale a que se ladrilharmos uma superfície, colocarmos cerâmica nos olhos e alguém mover todo o mosaico em uma direção específica e depois cobrir novamente os olhos não seremos capazes de apreciar a diferença entre o mosaico original e o deslocado. um.
Mosaicos sem jornais
Em contraste com as tesselações periódicas encontramos as tesselações não periódicas, que são aquelas para as quais não há tradução, nem nula, que deixa o mosaico com a mesma aparência. Não é difícil encontrar mosaicos não periódicos, basta, por exemplo, pegar um mosaico periódico, vamos pensar por exemplo um formado apenas por quadrados, e dividirmos um único quadrado de todo o mosaico em dois triângulos. É claro que ainda é uma tesselação do plano, mas não haverá translação que deixe toda a tessera igual, pois seremos capazes de distinguir entre o mosaico original e o seu deslocado simplesmente observando a posição modificada dos dois triângulos.
Mosaicos aperiódicos
Mas é agora que as coisas ficam interessantes, porque é quando surge o conceito de mosaico aperiódico, que são aqueles que, sendo periódicos, não satisfazem a condição extra de não possuírem regiões arbitrariamente grandes que sejam periódicas. Da mesma forma que esta ideia pode ser ouvida como num mosaico aperiódico, se pegarmos num pedaço suficientemente grande, ela não se repete no resto do mosaico. Certifique-se de que a amostra do mosaico que nenhum periódico descreve antes não seja aperiódica, pois podemos encontrar regiões arbitrariamente grandes que são periódicas, apenas pegue pedaços arbitrariamente grandes que não incluam nenhum dos triângulos.
Então a questão que surge naturalmente é esta:
Existem mosaicos aperiódicos?
Esta questão, que começou a ser discutida na segunda metade do século passado, logo recebeu resposta afirmativa e um dos primeiros a encontrar um mosaico aperiódico foi Raphael M. Robinson. O mosaico descrito por Robinson em 1971 era composto por 6 ladrilhos sucessivos.
Azulejos Robinson
Alguns anos depois, também na década de 70, Roger Penrose obteve duas telhas aperiódicas que puderam ser construídas, cada uma utilizando apenas duas telhas diferentes. A primeira dessas tesselações é composta por dois losangos diferentes:
Penrose tesserae (losangos)
Você pode produzir mosaicos como estes:
Mosaico Penrose
A segunda dessas tesselações aperiódicas é dada por duas peças conhecidas como cometa e flecha, por razões óbvias:
Penrose tesserae (pipa e flecha)
Bom, fica a dúvida de que uma plantar poderia ser a seguinte:
Existem mosaicos aperiódicos constituídos por um único ladrilho?
Este problema é conhecido como problema de Ein Stein (do alemão para “uma pedra”) e durante quase 50 anos permaneceu sem solução. Até março passado!
A descoberta de Ein Stein
No dia 20 de março, os cientistas David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan e Chaim Goodman-Strauss das Universidades de Cambridge, Waterloo e Arkansas publicaram o trabalho 'An aperiódico monotile' no qual descreveram uma possível forma do tão procurado -após azulejo que dá origem a um mosaico aperiódico com uma peça única.
Telha descrita por Smith, Myers, Kaplan e Goodman-Strauss
Com este único ladrilho, que na minha opinião se parece muito com uma camiseta, mostra que podem ser construídos mosaicos aperiódicos como os seguintes:
Mosaico aperiódico de azulejo
Se você está curioso sobre o assunto, pode se aprofundar nessa descoberta no vídeo a seguir,
em que seus descobridores conversam com outras pessoas relevantes na área, incluindo o Prêmio Nobel de Física Roger Penrose.
O ABCdario de las Mathematics é uma seção que surge da colaboração com a Comissão de Divulgação da Real Sociedade Espanhola de Matemática (RSME).
SOBRE O AUTOR
Victor M. Manero
