– Przerwij poszukiwania! Nareszcie to znaleźliśmy! — wykrzyknął komisarz MacCarnigan.
– Kto, panie? — zapytał podporucznik Pierron.
„Za jednego z najbardziej śliskich łotrów, jakich można sobie wyobrazić. Szukam go od prawie 50 lat.
– Nie miałem pojęcia, panie komisarzu. O kim to jest?
– Jego numer to Ein Stein i znalezienie go zajęło mi prawie całe życie.
- O kim to jest? Masz jakieś swoje zdjęcia na zewnątrz?
– Tak, mam to tutaj, tak to wygląda, ale nie dajcie się zwieść jego niewinnemu wyglądowi, ten tutaj dżentelmen trzyma nas w napięciu od prawie dziesięciu dekad.
Więc MacCarnigan pokazał agentowi Pierronowi zdjęcie Ein Stein, to zdjęcie:
w Steinie.
Ta krótka historia policjantów może wydawać się żartem, ale jeśli zamienimy detektywów na matematyków, staje się ona jednym z najwspanialszych odkryć matematycznych ostatnich lat. Ale aby zrozumieć zakres tej historii, musimy najpierw porozmawiać o jednej z dziedzin, w których matematyka i sztuka łączą się: o mozaikach.
mozaikowe gazety
Każdy z nas widział kiedyś mozaikę. Są to małe prace artystyczne lub dekoracyjne, które są wykonane z małych elementów, które pasują do siebie.
Kilka przykładów mozaik
Kiedy mówimy o mozaikach w matematyce, zwykle odnosimy się do tak zwanych teselacji, czyli sposobu układania elementów lub kafelków w taki sposób, aby elementy te miały wspólne krawędzie i nie pozostawiały dziur.
Dawno temu matematycy i matematyk postawili następujące pytanie
Jakimi elementami mogę wyłożyć samolot?
To znaczy, jakiego rodzaju elementów mogę do tego użyć, układając je tak, aby płytki stykały się ze sobą wspólnymi stronami, nie było luk w planie. Najwyraźniej okręgi nie należą do tej wybranej grupy, ponieważ jeśli chcę ułożyć płaszczyznę tylko za pomocą kół, zostawią mnie z dziurami. Chodź, będę musiał rzucić stałą zaprawę.
koła pozostawiają luki
Istnieje jednak wiele innych kształtów, za pomocą których możemy ułożyć płaszczyznę, takich jak trójkąty, kwadraty lub sześciokąty.
Teselacja z pojedynczym wielokątem foremnym
Lub możemy ułożyć płaszczyznę z kombinacjami tych lub innych figur.
Teselacja z kilkoma regularnymi wielokątami
Możesz też ozdobić samolot bardziej ekstrawaganckimi kombinacjami:
Inne możliwe nachylenia
Ale zastanawiałeś się nad wielką różnorodnością nachyleń, które przedstawiłeś, wszystkie mają coś wspólnego, a mianowicie, że są okresowe. Termin okresowy odnosi się do faktu, że istnieje jakieś tłumaczenie inne niż zero, które pozostawia całą mozaikę taką samą. Z tego, co rozumiemy, jest to równoznaczne z faktem, że jeśli położymy płytki na powierzchni, wyceramizujemy oczy i ktoś przesunie całą mozaikę w określonym kierunku, a następnie ponownie zakryje oczy, nie będziemy w stanie docenić różnicy między oryginalną mozaiką i przesiedlonego.
mozaiki bez gazet
W przeciwieństwie do okresowych nachyleń, mamy nieokresowe nachylenia, czyli takie, dla których nie ma żadnego przesunięcia, nie zera, które pozostawia mozaikę z tym samym wyglądem. Nietrudno znaleźć mozaiki nieokresowe, wystarczy np. wziąć kafelek okresowy, pomyślmy np. taki, który składa się tylko z kwadratów, a pojedynczy kwadrat całej mozaiki dzieli się na dwa trójkąty . Najwyraźniej nadal jest to teselacja płaszczyzny, ale nie będzie żadnego tłumaczenia, które pozostawi całe tessery takie same, ponieważ będziemy w stanie odróżnić oryginalną mozaikę od jej przesuniętej po prostu obserwując zmodyfikowaną pozycję dwa trójkąty.
kafelkowanie aperiodyczne
Ale teraz robi się ciekawie, ponieważ pojawia się koncepcja mozaiki aperiodycznej, czyli takiej, która nie będąc okresową, spełnia dodatkowy warunek, że nie ma dowolnie dużych regionów, które są okresowe. W ten sam sposób można usłyszeć tę ideę, jak w aperiodycznej mozaice, jeśli weźmiemy wystarczająco duży kawałek, nie powtórzy się ona w pozostałej części mozaiki. Upewnij się, że próbka mozaiki, której nie opisuje żadne czasopismo, nie jest aperiodyczna, ponieważ możemy znaleźć dowolnie duże obszary, które są okresowe, po prostu weź dowolnie duże kawałki, które nie zawierają żadnego trójkąta.
Naturalnie nasuwa się więc pytanie:
Czy istnieją mozaiki aperiodyczne?
To pytanie, które zaczęto badać w drugiej połowie ubiegłego wieku, wkrótce otrzymało twierdzącą odpowiedź, a jednym z pierwszych, którzy znaleźli aperiodyczną teselację, był Raphael M. Robinson. Mozaika opisana przez Robinsona w 1971 roku składała się z 6 następujących po sobie tesser.
kafelki robinsona
Kilka lat później, również w latach 70., Roger Penrose uzyskał dwie aperiodyczne płytki, które można było zbudować, z których każda używała tylko dwóch różnych płytek. Pierwsza z tych teselacji jest utworzona przez dwa różne romby:
Płytki Penrose (romby)
Możesz produkować mozaiki jako takie:
Płytki Penrose'a
Drugie z tych aperiodycznych przechyłów jest podane przez dwie części znane jako latawiec i strzała, z oczywistych powodów:
Płytki Penrose'a (kometa i strzała)
Cóż, istnieją wątpliwości, czy podeszwa może być następująca:
Czy istnieją aperiodyczne mozaiki utworzone przez pojedynczą płytkę?
Problem ten znany jest jako problem Ein Stein (z niemieckiego „kamień”) i przez prawie 50 lat pozostaje nierozwiązany. Do marca ubiegłego roku!
Odkrycie Ein Stein
20 marca naukowcy David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan i Chaim Goodman-Strauss z uniwersytetów w Cambridge, Waterloo i Arkansas opublikowali pracę pt. po tesserae, co daje początek aperiodycznej mozaice z unikalnym kawałkiem.
Płytka opisana przez Smitha, Myersa, Kaplana i Goodmana-Straussa
Za pomocą tej pojedynczej płytki, która wydaje mi się bardzo podobna do koszulki, pokazuje, że można zbudować aperiodyczne mozaiki, takie jak ta:
Mozaika aperiodyczna płytki
Jeśli Twoja ciekawość jest trzeźwa, możesz zagłębić się w to odkrycie w poniższym filmie,
w którym jego odkrywcy rozmawiają z innymi ważnymi osobami w okolicy, w tym z Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki Rogerem Penrose'em.
ABCdario de las Matemáticas to sekcja, która powstała we współpracy z Komisją Rozpowszechniania Królewskiego Hiszpańskiego Towarzystwa Matematycznego (RSME).
O AUTORZE
Wiktora M. Manero
