¿Qué son los métodos Montecarlo y qué tienen que ver con la bomba atómica?

El próximo 13 de mayo cumplirá treinta y tantos años del fallecimiento del matemático polaco Stanislaw Ulam (1909 – 1984), uno de los integrantes del proyecto Manhattan, que como sabrán, encargó entre otras cosas de conformar la primera bomba de hidrógeno del Historia. Desgraciadamente nuestros hallamos en un período en el que se ve claramente aparecer los dilemas morales sobrios de la utilización de la energía nuclear con fines no precisamente pacíficos. Ulam fue uno de los más reticentes y atormentados con el desarrollo final de la bomba atómica. Dejando tiene un lado esa controversia, claramente no superada, se encuentra la cuestión de qué papel podría desempeñar un inofensivo matemático (a priori), con sus cálculos y ecuaciones, en un asunto como éste.

Echemosle un vistazo.

Si buscamos información sobre Ulam, encontraremos que sus aportes matemáticos se distribuyen en diferentes campos tales como la teoría de números, la teoría de conjuntos, la teoría ergódica y la topología algebraica. Evidentemente no podemos revisar tanto material en una reseña única, de modo que nos centraremos en esta ocasión en el modelo que déarrolló junto con otro genio de las matemáticas y la informática, que también trabajó en el Laboratorio de Los Álamos en el citado proyecto Manhattan, El Húngaro-Estadounidense Matemático John Von Neumann (1903 – 1957), conocido como método de Montecarlo.

Antes de nada conviene recordar algunas ideas que nos aclaren un poco el tipo de problemas con los que vamos a tratar. A la hora de modelizar cualquier fenómeno o circunstancia que sucede a nuestro alrededor (experimento que puede ser tan sencillo como lanzar al aire una moneda, o tan complejo como describir la evolución del agua cuando se rompe una tuberia dentro de un edificio; o cómo simular el movimiento de dispersión de neutrones en el material de fisión nuclear). Esta modelización de lo que puede ocurrir se realiza mediante un algoritmo (palabra que ha hecho familiar en vidas desde hace algún tiempo).

Un algoritmo no es ni más ni menos que unas reglas fijas, siempre las mismas, que reproducen un proceso. Por ejemplo, para sumar, restaurar, multiplicar o dividir dos números utilizamos en cada caso un algoritmo (los que nos enseñan en la escuela), la elaboración de una tarta, el desplazamiento de los autobuses por una ciudad, la interpretación de una canción , todo lo que hacemos (a veces con algunas variaciones, en cuyo caso, modificamos el algoritmo) puese describirse mediante unas reglas, mediante un algoritmo. Los experimentos (que modelizamos mediante esos algoritmos) se pueden clasificar en dos tipos básicos: deterministas y aleatorios (o probabilísticos). Es determinista cuando su resultado es idéntico siempre que partamos de las mismas condiciones (si dejamos caer un objeto, sabemos con toda seguridad que acaba en el suelo; si calentamos una olla con agua, sabemos que acabará hirviendo), mientras que es ocasional cuando no Tenemos garantizado el mismo resultado aunque hagamos lo mismo (tirar al aire una moneda, extraer una bola de una urna, saber dónde va a caer un rayo). En realidad sólo los fenómenos naturales son puramente aleatorios, porque lo de la moneda, la bola de la urna, etc., hemos intuido su comportamiento estudiando dicha moneda, o la máquina que extrae la bola. Por eso hablamos de experimentos seudoaleatorios (los que dependen de algún artefacto construido por el hombre) y puramente aleatorios. Pero no haremos tal distinción en lo que sigue, por simplificar las cosas. El modelado de los experimentos o fenómenos deterministas se fundamenta en una fórmula conocida y cerrada, pero los segmentos se basan en la generación de números aleatorios y el análisis de las probabilidades asociadas.

juegos de cartas

Estructura del Contenido

En el trabajo que llevó a cabo sobriamente la difusión de partículas en fisión nuclear, los físicos que integraron el proyecto Manhattan advirtieron que planteaba un comportamiento completamente aleatorio. Para sus podrían optarse por dos procedimientos: resolu las íntegro-diferenciales ecuaciones que gobiernan la dispersión, la absorción y la fisión, ou tomar datos de experimentos reales. Ni una ni la otra eran factibles (la primera porque no se saben resolver ese tipo de ecuaciones en modo exacto; la segunda porque evidentemente no podemos hacer desintegraciones atómicas). Stan Ulam era un aficionado a los juegos de cartas y al cálculo de probabilidades para encontrar métodos trucos para intentar encontrar un rival.

Precisamente, jugando a solitario, se advierte que resultó más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las gráficas y contando las proporciones de los resultados, que computar formalmente todas las posibilidades de combinación. Esta es una prueba múltiple de la posibilidad de generar números aleatorios con la computadora y obtener los resultados. Por supuesto, una persona puede hacerlo varias veces, pero un ordenador puede pasarse horas mostrando números, y en ese tiempo hacer cientos, millas, millones hoy en día, de simulaciones. Entonces dio cuenta de que lo mismo podía aplicarse para inferir el comportamiento de un fenómeno físico, comme el de la difusión de neutrones.

Ulam le explicó la idea a Von Neumann. Aunque inicialmente no le convencía, con el tiempo (yes de suponer alguna experimentación) se convirtió en un auténtico fan convencido del procedimiento. As to do lo que hacían en Los Álamos era secreto, dieron al proyecto un número en clave, que uno de los integrantes del grupo bautizó como Montecarlo, en referencia al élebre Casino de esa localidad. Al fin y al cabo lo que genera la ruleta son números aleatorios (como comenté antes falso, porque al depender de un mecanismo mecánico, es seudoaleatorio; de hecho muchos jugadores han tenido grandes beneficios observando el comportamiento de las ruletas y deduciendo una fórmula empírica que las modelice), aunque al parecer Ulam aceptó el número en “honor” a un tío suyo que no hacía más que pedir dinero prestado a todo el mundo para jugar allí.

Fuera como fuera el caso es que los métodos Montecarlo fueron fundamentales para las simulaciones requeridas, aunque bastante limitados por las herramientas informáticas de aquella época (una ENIAC). En 1948 se lograron los primeros resultados aceptables sobrios del comportamiento de un núcleo de fisión. En la década de 1950, los métodos de Montecarlo fueron decisivos para el desarrollo de la bomba de hidrógeno y se popularizaron en los campos de la física, la física y la investigación operativa. La Corporación Rand y la Fuerza Aérea de los EE. UU. fueron dos de las principales organizaciones encargadas de financiar y difundir información sobre estos métodos. Desde entonces no han parado de perfeccionarse y encontrarse aplicaciones en los campamentos más variopintos, entre los que destacan la física, la medicina (imágenes radiográficas, sobre todo), la química molecular, ingeniería, diseño gráfico, economía y negocios y, por supuesto, las matematicas.

Ejemplos

Suele menciona el experimento de la aguja de Buffon para estimar los decimales del número Pi como precursor de los métodos de Montecarlo. If tomamos una hoja de papel en la que marcamos unas líneas paralelas a distancia d entre ellas (ver imagen), y dejamos caer una aguja de longitud l

La probabilidad de que la aguja esté en la posición es

Más adelante, Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827) interpretó esta relación como un modo de encontrar aproximaciones a los decimales de Pi. ¿Cómo? Tirando la aguja muchas veces y contando el número de las que quedan en la situación a. Ese valor dividido por el número total de lanzamientos, se aproxima a ese valor de la probabilidad p, y por tanto facilita también el cálculo de Pi:

Supuesto, el aproximado obtenido es muy poco eficiente: lograr así 5 decimales correctos con 3400 lanzamientos está por debajo del 1.5%. Simplemente discuta la idea de los métodos de Montecarlo: cuántos lanzamientos, cuántos enfoques.

Cuando jugamos a los barcos, al principio, hasta “definir” las zonas por donde se encuentra el objetivo, también utilizamos una estrategia Montecarlo: “lanzamos” andanadas al azar, y cuantas más, more define la zona donde se encuentran los barcos queda del adversario. Un procedimiento similar utilizando los guardacostas para localizar la probable desaparición de personas o buques en los naufragios (véase el software SAROPS, por ejemplo) durante las operaciones de búsqueda y rescate. Esta simulación puede generar hasta mil puntos de datos que se distribuyen aleatoriamente según las variables proporcionales. Los patrones de búsqueda luego se basan en el análisis de estos datos para optimizar la probabilidad de contención y la probabilidad de detección, que combinadas equivalen a una probabilidad general de éxito. En última instancia, esto servirá como una aplicación práctica de la distribución de probabilidad para proporcionar el método de rescate de manera más rápida y conveniente, que probablemente será efectivo en el rescate de Vidas y la optimización de recursos.

En matemáticas, hay muchos lugares en los que se utilizan estos métodos, desde la aproximación de integrales o la estimación de soluciones de ecuaciones que no se pueden resolver en modo exacto, hasta la determinación de si un número de cientos de dígitos es o no primo (prueba de primalidad).

aventuras de un matematico

Hace pocos meses, se estrenó la película ‘Adventures of a Mathematician’ (Thor Klein, Alemania, Polonia y Reino Unido, 2020) sobre Stanislaw Ulam y su trabajo junto a otros científicos en Los Álamos. More dicho, se estrenó en más de una docena de países, entre los que no está el nuestro. De acuerdo que no es una película de acción trepidante, ni de superheroes, ni es una comedia en el grupo de trabajo de la bomba atómica y la posterior de hidrógeno, aspectos sobre los que no reflexionarán algunos directos en la actualidad antes de hablar tan alegremente de las armas nucleares; paradójicamente, en Rusia sí se ha estrenado).

La película se basó en el libro homónimo de Ulam, editado en 1984, que se publicó en español en tampoco (los temas científicos parece que se nos atragantan, junto a los idiomas, así que en este caso, lo tiene todo). No obstante, se lo recomiendo si tienen ocasión de hacerse con él. Sobre la película, aquí disponen del tráiler. En la imagen una escena en la que Ulam enseña algunos trucos sobre juegos de cartas a sus alumnos en base al cálculo de probabilidad.

Volveremos sin duda a recordar otros trabajos de Ulam en posteriores reseñas, como una espiral de la que seguro han oído hablar.

Alfonso Jesús Población Sáez es catedrático de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.