Matemáticos descubre la ‘camiseta’, el patrón que nunca se repite

– ¡Detengan la búsqueda! Por fin lo hemos encontrado -exlamó el comisario MacCarnigan.

– ¿A quién señor? -le preguntó el subteniente Pierron.

– A uno de los granujas más escurridizos que jamás hayas podido imaginar. Llevo casi 50 años buscándolo.

– No tenía ni idea, señor comisario. ¿De quién se trata?

– Su numero es Ein Stein y me ha llevado casi una vida entera encontrarlo.

– ¿De quién se trata? ¿Tienes alguna foto tuya por ahí?

– Sí, la tengo aquí mismo, este es el aspecto que tiene, pero no te dejes engañar por su apariencia inocente, este señorito de aquí nos ha tenido en vilo Durante casi diez lustros.

Entonces, MacCarnigan mostró al agente Pierron la foto de Ein Stein, esta foto:

En Stein.

En Stein.

Esta breve historia de policías puede parecer una broma, pero si cambiamos detectives por matemáticos pasa a ser uno de los descubrimientos matemáticos más maravillosos que se han vivido en los últimos años. Pero para poder entender el alcance de esta historia tenemos que hablar antes de uno de los camps en los que las mathematicas y el arte se fusionan: los mosaicos.

Periódicos mosaicos

Todos hemos visto en algún momento de nuestra vida algún mosaico. Se trata de pequeñas obras artísticas o decorativas que se realizan utilizando pequeñas piezas que van encajando.

Matemáticos descubre la 'camiseta', el patrón que nunca se repite

Algunos ejemplos de mosaicos

Algunos ejemplos de mosaicos

Cuando hablamos de mosaicos en matemáticas normalmente hacemos referencia a lo que se conoce como teselaciones, que viene a ser una forma de disponer piezas o teselas de modo que estas piezas tengan bordes comunes y no dejen agujeros.

Hace ya mucho tiempo los matemáticos y matemáticas se plantaron la siguiente pregunta

¿Con qué tipo de piezas puedo teselar el plano?

Es decir, que tipo de piezas puedo utilizar para eso, poniéndolas de modo que las teselas se toquen por lados comunes, no queden huecos en el plano. Claramente los círculos no están en este selecto grupo, ya que si quiero teselar el plano utilizando únicamente círculos me van a ir quedando huecos. Vamos, que me a tocar echar lechada fija.

Los circulos dejan huecos

Los circulos dejan huecos

Sin embargo, hay otras muchas figuras con las que podemos teselar el plano, como, por ejemplo, con triángulos, cuadrados o hexágonos.

Teselado con un único polígono regular

Teselado con un único polígono regular

O podemos teselar el plano con combinaciones de estas u otras figuras.

Teselado con varios polígonos regulares

Teselado con varios polígonos regulares

O incluso se puede teselar el plano con combinaciones más extravagantes:

Otras teselaciones posibles

Otras teselaciones posibles

Pero ha ponderado la gran variedad de teselaciones que ha presentado, todas ellas tienen algo en común, y es, que son periódicas. El término periódico hace referencia al hecho de que existe alguna traslación, distinta de cero, que deja todo el mosaico igual. Por lo que entendemos, equivale a que si embaldosamos una superficie, cerámicos los ojos y alguien mueve todo el mosaico en una dirección concreta y después cobija los ojos de nuevos seremos incapaces de apreciar la diferencia entre el mosaico original y el desplazado.

Mosaicos sin periodicos

En contraste con las teselaciones periódicas encontramos las teselaciones no periódicas, que son aquellas para las que no existent ninguna traslación, no nula, que deje el mosaico con la misma apariencia. No es difícil encontrar mosaicos no periódicos, basta, por ejemplo, con tomar una teselación periódica, pensemos por ejemplo una formada sólo por cuadrados, y un único cuadrado de todo el mosaico lo partimos en dos triángulos. Claramente sigue siendo una teselación del plano, pero no va a existir ninguna traslación que deje toda la tesela igual ya que podremos distinguir entre el mosaico original y su déplazado sin más qu’observer la posición modificada de los dos triángulos.

Mosaicos aperiódicos

Pero ahora es cuando la cosa se pone interesante, porque es cuando aparece el concepto de mosaico aperiódico que son aquellos que siendo no satisfacen periódicos la condición extra de que no posen en regiones arbitrariamente grandes que sean periódicos. Del mismo modo esta idea se puede escuchar como en un mosaico aperiódico, si tomamos un trozo lo suficientemente grande, éste no repite en el resto del mosaico. Asegúrese de que la muestra de mosaico que ninguna publicación periódica describe antes no sea aperiódico puesto que podemos encontrar regiones arbitrariamente grandes que sí son periódicas, basta tomar trozos arbitrariamente grandes que no incluyen ninguno de los dos triángulos.

Entonces, la pregunta que surge de forma natural es la siguiente:

¿Existen mosaicos aperiódicos?

Esta cuestión, que comenzó a ser sudiada en la segunda mitad del siglo pasado, pronto recibió una respuesta afirmativa y uno de los primeros en contrar un teselado aperiódico fue Raphael M. Robinson. El mosaico descrito por Robinson en el año 1971 estaba formado por 6 teselas sucesivas.

Robinson teselas

Robinson teselas

A los pocos años, también en la década de los 70, Roger Penrose obtuvo dos teselas aperiódicas que se podían construir, cada una de ellas, utilizando únicamente dos teselas diferentes. La primera de estas teselaciones está formada por dos rombos distintos:

Penrose teselas (rombos)

Penrose teselas (rombos)

Puede producir mosaicos como tales:

Mosaico de Penrose

Mosaico de Penrose

La segunda de estas teselaciones aperiódicas viene dada por dos piezas conocidas como cometa y flecha, por razones obvias:

Penrose teselas (cometa y flecha)

Penrose teselas (cometa y flecha)

Bueno, ahí está la duda de que un plantar podría es la siguiente:

¿Existen mosaicos aperiódicos formatados por una única tesela?

A este problema se le ha conocido como el problema de Ein Stein (del alemán “una piedra”) y colgante casi 50 años se ha mantenido sin solución. ¡Hasta el pasado mes de marzo!

El hallazgo del Ein Stein

El pasado 20 de marzo, los científicos David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss de las Universidades de Cambridge, Waterloo y Arkansas publicaron el trabajo ‘An aperiodic monotile’ en el cual describieron una posible forma de la tan buscada tesela que da lugar a un mosaico aperiódico con una pieza única.

Tesela descrita por Smith, Myers, Kaplan y Goodman-Strauss

Tesela descrita por Smith, Myers, Kaplan y Goodman-Strauss

Con esta única tesela, que a mí parecer se asemeja mucho a una camiseta, demuestra que se pueden construir mosaicos aperiódicos como el siguiente:

Mosaico aperiódico de una tesela

Mosaico aperiódico de una tesela

Si su curiosidad sobria el tema puede profundizar más sobre este descubrimiento en el siguiente vídeo,

en el que sus descubridores hablan con otras personas relevantes del área, entre ellos el premio nobel de física Roger Penrose.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

SOBER EL AUTOR

Víctor M. Manero

Víctor M. Manero (@pitimanero) es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro del comité de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).



<div class="voc-author__name">Víctor M. Manero</div>
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