Šajā rakstā mēs pārbaudīsim ChatGPT matemātiskās zināšanas. Mēs mēģināsim izmantot mākslīgā intelekta priekšrocības, lai atrastu pretpiemēru algebras pamatteorēmai, atklājot, ka tas neapšaubāmi mūs aizvedīs uz Fīldsa medaļu.
Ja mēs jautājam par 3. pakāpes polinoma saknēm, šajā gadījumā viss ir reāls, ChatGPT apgalvo, ka analītiskā izšķirtspēja var būt atkarīga no piedāvātā polinoma, tāpēc mēs iesakām izmantot iteratīvu skaitlisko metodi, piemēram, Ņūtona-Rafsona metodi.
Kļūda atvasinājuma aprēķinā
Pagaidām mēs nevaram apšaubīt AI matemātiskās spējas, tāpēc mēģinājām panākt, lai tas atrisinātu polinoma p(x) = x3 – 3×2 + 4 sakņu atrašanas problēmu, un mums par pārsteigumu tas veica nepareizu aprēķinu. atvasinājuma , tāpēc sakņu iegūšana nav pareiza. Tas atgriež x = 0 kā polinoma sakni, un mēs lūdzam to pārbaudīt. Protams, tas apzinās kļūdas esamību, bet nezina, kur tā radusies. Mēs esam redzējuši, ka kļūda ir polinoma atvasinājumā, un mēs lūdzam, lai tā būtu aprēķināta no saknēm, izmantojot Ņūtona-Rafsona metodi. Pārsteidzoši, tas atkal rada skaitļošanas kļūdu, šoreiz vienkāršā darbībā, kā redzams nākamajā attēlā:
Nepareizs aprēķins
Pamanot kļūdu aprēķinos, mēs viņam jautājam vēlreiz, pieļaujot citu kļūdu, tāpēc dodam viņam pirmo Ņūtona-Rafsona metodes iterāciju, proti, x₁ = 5/3 un lūdzam turpināt iterācijas, kā rezultātā x₁ = 5 /3 ir polinoma sakne. Mēs apstiprinām, vēlreiz jautājot, vai vērtība 5/3 ir polinoma sakne, un iegūstam apstiprinošu atbildi. Mēs lūdzam aprēķināt polinoma vērtību šajā vērtībā, un, tā kā rezultāts atšķiras no nulles, mēs parādām, ka tā nevar būt sakne. Viņš to saprot un atvainojas, kā redzams tālāk:
Secinām, ka Ņūtona-Rafsona metodes teorija ir pareiza, bet tās pielietojums nav, tāpēc saknes cenšamies atrast, izmantojot citu metodi, piemēram, polinoma faktorizāciju.
Šajā gadījumā mēs atklājam, ka polinoma p(x) saknes ir x = r un x = 1 ± 2i.
Kad tiek lūgts pārbaudīt, vai p(1+2i) vērtība nav nulle un tāpēc nevar būt mūsu polinoma sakne, vēlreiz apstipriniet kļūdu. Nonākot šajā situācijā, mēs ejam ar pavedienu un sakām viņam, ka x = – 1 ir reāla polinoma sakne un ka pārējās saknes aprēķina. Viņa pirmā atbilde nevarēja būt pārsteidzošāka, norādot, ka papildus x = – 1, pārējās polinoma p(x)=4 – 3×2 + x3 saknes ir x = 1 + 2i un x = 1 – 2i. . Līdz četrām reizēm tas atkal dod nepareizus rezultātus, tāpēc mums neatliek nekas cits, kā nodrošināt tai jaunu sakni. Šajā gadījumā tā vietā, lai to sniegtu, mēs jautājam, vai x = 2 ir mūsu polinoma sakne. Izvērtējiet atbildi vai, pareizāk sakot, aprēķinus, ko ChatGPT veic, lai pārbaudītu, vai x = 2 nav sakne:
Pēc aprēķinu atkārtotas pārbaudes pabeidziet, paskaidrojot, ka mūsu polinoma saknes ir x = – 1, x = 1 un x = 2.
Mēs parādīsim, ka visas trīs saknes ir, atgriežot pareizo, tas ir, x = 1 nav sakne, bet pārējās divas vērtības ir. Mēs nepadodamies un cenšamies atrast polinoma trešo sakni, un tieši tajā mēs atrodam vislielāko nepareizo interpretāciju. Mūsu skaidrojumi: “Algebras pamatteorēma nosaka, ka katram pakāpes polinomam ir tieši n saknes, gan reālas, gan sarežģītas. Tādējādi, ja n pakāpes polinomam ir k reālās saknes, tad tam ir jābūt nk kompleksajām saknēm. Pagaidām mēs piekrītam. Mēs turpinām ar: “Plinoma p(x) = 4 – 3×2 + x3 gadījumā esam noskaidrojuši, ka tam ir divas reālās saknes x = – 1 un x = 2. Tā kā p(x) ir 3. pakāpes polinoms, tad tam ir jābūt papildu kompleksai saknei. Šī kompleksā sakne ir x = 1 ± 2i. Mēs nevaram atbrīvoties no izbrīna un domājam, ka viņš gribēja mums parādīt tikai vienu no divām saknēm, tāpēc mēs dodam viņam vēl vienu iespēju, kā rezultātā:
Tātad, ja mums ir taisnība, mēs tikko esam atraduši pretpiemēru algebras pamatteorēmai, 3. pakāpes polinomam ar 4 saknēm. Vai mēs kandidēsim uz Fīldsa medaļu?
AI atkārtoti apstiprināja, ka viņas atbilde ir pareiza vēl divas reizes, parādot, ka 3. pakāpes polinomam var būt 4 saknes. Mēs pat nolēmām tos atrast, izmantojot sadalīšanas metodi. Tagad jā, mēs atsakāmies meklēt vienkārša 3. pakāpes polinoma saknes. Mēs sirsnīgi atvadāmies ar pēdējo tableti:
Nobeigumā mēs nesakām, ka ChatGPT ir slikts mākslīgais intelekts, tālu no tā, ja ne gluži otrādi, tas ir ļoti labs mākslīgais intelekts, bet pats par sevi dabiskās valodas apstrādē, lai gan matemātikā tam joprojām ir garš ceļš ejams, mācīties. Mums jābūt kritiskiem pret rezultātiem, ko mums atgriež dzinēji: tie nav patiesi neatkarīgi no tā, cik labi tie ir izskaidroti, un šķiet, ka trūkst cilvēka, kurš varētu pārbaudīt to patiesumu.
PAR AUTORU
Ínigo Sarrija Martiness De Mendivils
Šis raksts sākotnēji tika publicēts vietnē The Conversation.
