Бул макалада биз ChatGPTтин математикалык билимин сынап көрөбүз. Алгебранын негизги теоремасына каршы мисал издөө үчүн жасалма интеллекттин мүмкүнчүлүктөрүн колдонууга аракет кылабыз, ал бизди Филдс медалына карай жол ачары шексиз.
Эгерде биз 3-даражадагы көп мүчөнүн тамыры жөнүндө сурасак, бул учурда бардыгы реалдуу, ChatGPT аналитикалык резолюция сунушталган көп мүчөгө көз каранды болушу мүмкүн экенин айтат, ошондуктан биз Ньютон-Рафсон ыкмасы сыяктуу итеративдик сандык ыкманы колдонууну сунуштайбыз.
Туундуну эсептөөдө ката
Азырынча биз AIнин математикалык жөндөмдүүлүгүнө шек санай албайбыз, ошондуктан биз аны p(x) = x3 – 3×2 + 4 полиномунун тамырларын табуу маселесин чечүүгө аракет кылып жатабыз жана таң калыштуусу, ал эсепти аткарат. Туунду, ошондуктан тамырларды алуу туура эмес. Ал көп мүчөнүн тамыры катары х = 0 кайтарат жана биз аны текшерүүнү суранабыз. Албетте, сиз ката бар экенин түшүнөсүз, бирок анын кайда болгонун билбейсиз. Ката көп мүчөнүн туундусунда экенин көрдүк жана анын Ньютон-Рафсон ыкмасы аркылуу тамырлардан эсептелгенин сурайбыз. Таң калыштуусу, ал бул жолу жөнөкөй бир операцияда дагы бир эсептөө катасын жасайт, муну төмөнкү сүрөттө көрүнүп турат:
Туура эмес эсептөө
Эсептөөлөрдөгү катаны байкап, биз алардан дагы бир жолу сурап, дагы бир ката кетиребиз, ошондуктан Ньютон-Рафсон методунун биринчи итерациясын беребиз, тактап айтканда, x₁ = 5/3 жана кайталоону улантууну суранабыз, натыйжада x₁ = 5/3 көп мүчөнүн тамыры. Биз 5/3 мааниси көп мүчөнүн тамыры болуп саналабы деп кайра суроо менен ырастайбыз жана оң жооп алабыз. Биз ошол маанидеги көп мүчөнүн маанисин эсептөөнү суранабыз жана натыйжа нөлдөн айырмалангандыктан, анын тамыр болушу мүмкүн эместигин ачык айтабыз. Ал муну түшүнөт жана төмөндө көрүнүп тургандай өзүн актайт:
Ньютон-Рафсон методунун теориясы туура деген тыянак чыгарабыз, бирок анын колдонулушу туура эмес, ошондуктан биз башка ыкманы, мисалы, полиномдук факторизацияны колдонуп, тамырларды табууга аракет кылабыз.
Бул учурда, биз p(x) көп мүчөнүн тамырлары x = r жана x = 1 ± 2i экендигин табабыз.
p(1+2i) мааниси нөлдөн айырмаланып, ошондуктан биздин көп мүчөбүздүн тамыры боло албастыгын текшерүүнү сураганда, ал катаны дагы бир жолу мойнуна алат. Бул абалга жеткенден кийин, биз бир маалымат менен барабыз жана ага x = – 1 көп мүчөнүн чыныгы тамыры жана калган тамырлар эсептей турганын айтабыз. Анын биринчи жообу таң калычтуураак болушу мүмкүн эмес, бул бизге x = – 1ден тышкары, p(x)=4 – 3×2 + x3 көп мүчөнүн башка тамырлары x = 1 + 2i жана x = 1 – 2i экенин айтты. . Төрт жолуга чейин туура эмес жыйынтыктарды берет, ошондуктан аны жаңы тамыр менен камсыз кылуудан башка аргабыз жок. Бул учурда, аны сизге берүүнүн ордуна, биз x = 2 биздин көп мүчөбүздүн тамыры экендигин сурайбыз. Жоопту, тагыраак айтканда, x = 2 тамыр эмес экенин текшерүү үчүн ChatGPT жүргүзгөн эсептөөлөрдү өзүңүз чечиңиз:
Эсептөөлөрдү дагы бир жолу текшергенден кийин, биздин көп мүчөбүздүн тамырлары x = – 1, x = 1 жана x = 2 экенин түшүндүрүп бүтүрүңүз.
Биз сизге үч тамыр туура нерсени кайтаруу менен көрсөтөбүз, башкача айтканда, x = 1 башка эки маани болсо, тамыр эмес. Биз багынбайбыз жана көп мүчөнүн үчүнчү тамырын издөөгө аракет кылабыз жана чечмелөөдөгү эң чоң катаны дал ушул жерден табабыз. Биздин түшүндүрмөлөр: «Алгебранын негизги теоремасы ар бир даражадагы көп мүчөнүн чыныгы да, татаал да так n тамыры бар экенин аныктайт. Ошентип, n даражадагы көп мүчөнүн k чыныгы тамыры болсо, анда анын nk татаал тамыры болушу керек». Ушул убакка чейин биз макулбуз. Биз төмөнкүнү улантабыз: “p(x) = 4 – 3×2 + x3 полиномунун учурда, биз анын эки чыныгы тамыры бар экенин таптык, х = – 1 жана x = 2. p(x) – бул 3 даражадагы көп мүчө, анда ал кошумча комплекстүү тамырга ээ болушу керек. Бул татаал тамыр x = 1 ± 2i болуп саналат. Таң калганыбыздан чыга албай, ал бизге эки тамырдын бирин гана көрсөткүсү келген деп ойлойбуз, ошондуктан ага дагы бир мүмкүнчүлүк берип, натыйжада:
Демек, эгер биз туура болсок, биз жаңы эле Алгебранын Негизги Теоремасына, 3 тамыры бар 4-даражадагы көп мүчөгө каршы мисал таптык. Биз Филдс медалына даярбызбы?
AI анын жообу дагы эки жолу туура экенин ырастап, 3 даражадагы көп мүчөнүн 4 тамыры болушу мүмкүн экенин көрсөттү. Биз аларды экиге бөлүү ыкмасын колдонууну сунуштайбыз. Эми биз 3-даражадагы жөнөкөй көп мүчөнүн тамырларын издөөнү улантуудан баш тартабыз. Биз акыркы таблетка менен чын жүрөктөн коштошуп:
Жыйынтыктап айтканда, биз ChatGPT жаман Жасалма Интеллект деп айтуудан алыспыз, тескерисинче, бул абдан жакшы AI, бирок өз тармагында, Табигый тилди иштетүүдө, бирок математикада ал дагы эле көп. кылуу.үйрөнүү. Кыймылдаткычтар бизге кайтып келген натыйжаларга сын көз карашта болушубуз керек: алар канчалык жакшы түшүндүрүлгөнү менен чындыкка дал келбейт жана алардын чындыгын текшере ала турган адам жетишсиз болуп жаткандай.
АВТОР ЖӨНҮНДӨ
Иниго Сарриа Мартинес де Мендивил
Бул макала алгач The Conversation сайтында жарыяланган.
