– 검색을 중지하십시오! 우리는 마침내 그것을 찾았습니다.'라고 MacCarnigan 국장은 외쳤습니다.
– 누구 선생님? Pierron 중위가 물었다.
“당신이 상상할 수 있는 가장 미끄러운 도적 중 한 명에게. 나는 거의 50년 동안 그것을 찾고 있었다.
- 전혀 몰랐습니다, 위원님. 누구에 관한 것입니까?
– 그의 번호는 Ein Stein이고 그것을 찾는 데 거의 평생이 걸렸습니다.
- 누구에 관한 것입니까? 거기에 당신의 사진이 있습니까?
– 예, 바로 여기에 있습니다. 이렇게 생겼지만 순진한 외모에 속지 마십시오. 여기 이 신사는 거의 XNUMX년 동안 우리를 긴장하게 만들었습니다.
그래서 MacCarnigan은 Pierron 요원에게 Ein Stein의 사진을 보여주었습니다. 이 사진은 다음과 같습니다.
스테인에서.
경찰의 이 짧은 역사는 농담처럼 들릴지 모르지만 수사관을 수학자로 바꾸면 최근 몇 년 동안 일어난 가장 놀라운 수학적 발견 중 하나가 됩니다. 그러나이 이야기의 범위를 이해하려면 먼저 수학과 예술이 합쳐지는 분야 중 하나 인 모자이크에 대해 이야기해야합니다.
모자이크 신문
우리는 모두 살면서 어느 시점에서 모자이크를 본 적이 있습니다. 이것들은 서로 잘 맞는 작은 조각을 사용하여 만든 작은 예술 또는 장식 작품입니다.
모자이크의 몇 가지 예
수학에서 모자이크에 대해 이야기할 때 우리는 일반적으로 조각이나 타일을 배열하여 이러한 조각이 공통 모서리를 갖고 구멍을 남기지 않도록 하는 방법인 테셀레이션을 참조합니다.
오래전 수학자, 수학자들은 다음과 같은 질문을 제기했다.
어떤 종류의 조각으로 비행기를 타일로 만들 수 있습니까?
즉, 어떤 유형의 조각을 사용할 수 있는지, 타일이 공통면에서 서로 닿도록 배치하면 계획에 틈이 없습니다. 분명히 원은 이 선택 그룹에 없습니다. 원만 사용하여 평면을 타일링하려는 경우 구멍이 남을 것이기 때문입니다. 자, 고정 그라우트를 캐스팅해야 겠어요.
원은 간격을 둡니다
그러나 삼각형, 사각형 또는 육각형과 같이 평면을 타일링할 수 있는 다른 많은 모양이 있습니다.
단일 정다각형 테셀레이션
또는 이러한 또는 다른 그림의 조합으로 평면을 타일링할 수 있습니다.
여러 정다각형 테셀레이션
또는 더 화려한 조합으로 평면을 타일링할 수도 있습니다.
기타 가능한 타일링
그러나 당신은 당신이 제시한 매우 다양한 타일링에 대해 숙고했고, 그것들은 모두 공통점이 있으며, 즉 그것들이 주기적이라는 것입니다. 주기적이라는 용어는 전체 모자이크를 동일하게 유지하는 XNUMX이 아닌 일부 변환이 있다는 사실을 나타냅니다. 우리가 이해하는 바에 따르면 표면을 타일로 만들고 세라믹으로 눈을 만들고 누군가 전체 모자이크를 특정 방향으로 움직인 다음 다시 눈을 가리면 원래 모자이크의 차이를 인식할 수 없다는 사실과 같습니다. 그리고 실향민.
신문 없는 모자이크
주기적인 타일링과 달리 우리는 비주기적인 타일링을 발견하는데, 이는 XNUMX이 아닌 변환이 없는 모자이크를 동일한 모양으로 남기는 타일링입니다. 비주기적인 모자이크를 찾는 것은 어렵지 않습니다. 예를 들어 주기적인 타일링을 취하는 것으로 충분합니다. . 분명히 그것은 여전히 평면의 테셀레이션이지만 전체 테세라를 동일하게 유지하는 변환은 없을 것입니다. 두 개의 삼각형.
비주기적 타일링
그러나 지금은 상황이 흥미로워지는 시기입니다. 비주기적 모자이크라는 개념이 등장하기 때문입니다. 비주기적 모자이크는 주기적이지는 않지만 주기적인 임의의 큰 영역을 갖지 않는다는 추가 조건을 만족하는 것입니다. 같은 방식으로 이 아이디어는 비주기적 모자이크에서와 같이 들을 수 있습니다. 우리가 충분히 큰 조각을 취하면 모자이크의 나머지 부분에서 반복되지 않습니다. 주기적인 임의의 큰 영역을 찾을 수 있으므로 이전에 어떤 정기 간행물도 설명하지 않은 모자이크 샘플이 비주기적이지 않은지 확인하십시오. 삼각형을 포함하지 않는 임의의 큰 조각을 선택하십시오.
따라서 자연스럽게 떠오르는 질문은 다음과 같습니다.
비주기적인 모자이크가 있습니까?
지난 세기 후반에 연구되기 시작한 이 질문은 곧 긍정적인 대답을 얻었고 비주기적인 테셀레이션을 처음으로 발견한 사람 중 하나는 Raphael M. Robinson이었습니다. 1971년 로빈슨이 묘사한 모자이크는 6개의 연속적인 테세라로 구성되어 있습니다.
로빈슨 타일
몇 년 후인 70년대에 Roger Penrose는 각각 두 개의 다른 타일만 사용하여 만들 수 있는 두 개의 비주기 타일을 얻었습니다. 이러한 테셀레이션 중 첫 번째는 두 개의 서로 다른 마름모꼴로 형성됩니다.
펜로즈 타일(마름모꼴)
다음과 같이 모자이크를 생성할 수 있습니다.
펜로즈 타일링
이러한 비주기적 타일링 중 두 번째는 연과 화살로 알려진 두 조각으로 제공되며, 그 이유는 다음과 같습니다.
펜로즈 타일(혜성과 화살)
음, 발바닥이 다음과 같을 수 있다는 의심이 있습니다.
하나의 타일로 형성된 비주기적인 모자이크가 있습니까?
이 문제는 Ein Stein 문제(독일어에서 "돌"을 뜻함)로 알려져 있으며 거의 50년 동안 해결되지 않은 상태로 남아 있습니다. 지난 XNUMX월까지!
아인 슈타인의 발견
20월 XNUMX일 케임브리지 대학, 워털루 대학 및 아칸소 대학의 과학자 David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan 및 Chaim Goodman-Strauss는 '비주기적 모노타일'이라는 작업을 발표했습니다. 독특한 조각으로 비주기적인 모자이크를 일으키는 테세라 이후.
Smith, Myers, Kaplan 및 Goodman-Strauss가 설명한 타일
내가 보기에 티셔츠와 매우 유사해 보이는 이 단일 타일로 그는 다음과 같은 비주기적 모자이크를 만들 수 있음을 보여줍니다.
타일의 비주기적 모자이크
주제에 대한 호기심이 있다면 다음 비디오에서 이 발견에 대해 더 깊이 파고들 수 있습니다.
그 발견자들이 노벨 물리학상 Roger Penrose를 포함하여 해당 지역의 다른 관련 인사들과 이야기를 나눕니다.
ABCdario de las Matemáticas는 왕립 스페인 수학 학회(RSME)의 보급 위원회와의 협력으로 생성된 섹션입니다.
저자 소개
빅터 M. 마네로
