- შეწყვიტე ძებნა! ჩვენ ის საბოლოოდ ვიპოვეთ, - წამოიძახა კომისარმა მაკკარნიგანმა.
- ვინ ბატონო? ჰკითხა მეორე ლეიტენანტმა პიერონმა.
„ერთ-ერთ ყველაზე მოლიპულ თაღლითს, რომლის წარმოდგენაც კი შეგეძლოთ. თითქმის 50 წელია ვეძებ.
– წარმოდგენა არ მქონდა, კომისრო. ვისზეა საუბარი?
– მისი ნომერია აინ სტეინი და მის პოვნას თითქმის მთელი ცხოვრება დამჭირდა.
- ვისზეა საუბარი? გაქვთ რაიმე თქვენი ფოტოები იქ?
– დიახ, სწორედ აქ მაქვს, ასე გამოიყურება, ოღონდ მის უმანკო გარეგნობამ არ მოგატყუოთ, ეს ჯენტლმენი აქ თითქმის ათი ათეული წელი გვაჩერებს.
მაკკარნიგანმა აგენტ პიერონს აჩვენა აინ სტეინის ფოტო, ეს ფოტო:
სტეინში.
პოლიციელების ეს მოკლე ისტორია შეიძლება ხუმრობად მოგვეჩვენოს, მაგრამ თუ მათემატიკოსებს დეტექტივებს შევცვლით, ეს ბოლო წლების განმავლობაში მომხდარი ერთ-ერთი ყველაზე მშვენიერი მათემატიკური აღმოჩენა გახდება. მაგრამ იმისათვის, რომ გავიგოთ ამ ისტორიის ფარგლები, ჯერ უნდა ვისაუბროთ ერთ-ერთ სფეროზე, რომელშიც მათემატიკა და ხელოვნება ერწყმის ერთმანეთს: მოზაიკას.
მოზაიკის გაზეთები
ჩვენ ყველას გვინახავს მოზაიკა ჩვენი ცხოვრების რაღაც მომენტში. ეს არის პატარა მხატვრული ან დეკორატიული ნამუშევრები, რომლებიც მზადდება ერთმანეთთან მორგებული პატარა ნაჭრების გამოყენებით.
მოზაიკის რამდენიმე მაგალითი
როდესაც ვსაუბრობთ მოზაიკაზე მათემატიკაში, ჩვენ ჩვეულებრივ ვგულისხმობთ იმას, რაც ცნობილია, როგორც თესელაციები, რაც არის ნაჭრების ან ფილების მოწყობის ხერხი ისე, რომ ამ ნაწილებს ჰქონდეს საერთო კიდეები და არ დატოვოს ხვრელები.
დიდი ხნის წინ მათემატიკოსებმა და მათემატიკოსებმა დასვეს შემდეგი კითხვა
როგორი ნაწილებით შემიძლია თვითმფრინავის მოპირკეთება?
ანუ რა ტიპის ნაჭრები შემიძლია გამოვიყენო ამისთვის, დავაყენო ისე, რომ ფილები ერთმანეთს ეხებოდეს საერთო გვერდებზე, სიბრტყეში არ იყოს ხარვეზები. ცხადია, წრეები არ არის ამ არჩეულ ჯგუფში, რადგან თუ მსურს თვითმფრინავის მოპირკეთება მხოლოდ წრეების გამოყენებით, ისინი დამიტოვებენ ნახვრეტებს. მოდი, მე მომიწევს ფიქსირებული ხრეშის ჩამოსხმა.
წრეები ტოვებენ ხარვეზებს
თუმცა, არსებობს მრავალი სხვა ფორმა, რომლითაც შეგვიძლია სიბრტყის მოპირკეთება, როგორიცაა სამკუთხედები, კვადრატები ან ექვსკუთხედები.
Tessellation ერთი რეგულარული მრავალკუთხედით
ან შეგვიძლია თვითმფრინავი ამ ან სხვა ფიგურების კომბინაციით დავაფინოთ.
Tessellation რამდენიმე რეგულარული მრავალკუთხედით
ან შეგიძლიათ თვითმფრინავი უფრო ექსტრავაგანტული კომბინაციებითაც კი მოაწყოთ:
სხვა შესაძლო ფილები
მაგრამ თქვენ დაფიქრდით კრამიტების მრავალფეროვნებაზე, რომლებიც წარმოადგინეთ, მათ ყველას აქვთ რაღაც საერთო და ეს არის ის, რომ ისინი პერიოდულია. ტერმინი პერიოდული აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ არსებობს რაიმე თარგმანი, გარდა ნულისა, რომელიც ტოვებს მთელ მოზაიკას. როგორც ჩვენ გვესმის, ეს უდრის იმ ფაქტს, რომ თუკი ზედაპირს დავაკრავთ კრამიტით, თვალებს კერამიკას მოვამზადებთ და ვინმე მთელ მოზაიკას კონკრეტული მიმართულებით გადააადგილებს და შემდეგ ისევ თვალებს აფარებს, ჩვენ ვერ შევაფასებთ განსხვავებას თავდაპირველ მოზაიკასა და გადაადგილებულს შორის.
მოზაიკა გაზეთების გარეშე
პერიოდული კრამიტებისგან განსხვავებით, ჩვენ ვხვდებით არაპერიოდიულ კრამიტებს, რომელთათვისაც არ არსებობს თარგმანი და არა ნული, რომელიც ტოვებს მოზაიკას იმავე იერსახეს. არაპერიოდული მოზაიკის პოვნა ძნელი არ არის, საკმარისია, მაგალითად, ავიღოთ პერიოდული კრამიტი, ვიფიქროთ, მაგალითად, მხოლოდ კვადრატებით ფორმირებული და მთელი მოზაიკის ერთი კვადრატი იყოფა ორ სამკუთხედად. ცხადია, ეს ჯერ კიდევ სიბრტყის ნიმუშია, მაგრამ არ იქნება რაიმე თარგმანი, რომელიც დატოვებს მთელ ტესერას ერთნაირად, რადგან ჩვენ შევძლებთ განასხვავოთ ორიგინალური მოზაიკა და მისი გადაადგილებული, უბრალოდ ორი სამკუთხედის შეცვლილი პოზიციის დაკვირვებით.
აპერიოდული კრამიტი
მაგრამ ახლა არის ის, როდესაც ყველაფერი საინტერესო ხდება, რადგან სწორედ მაშინ ჩნდება აპერიოდული მოზაიკის ცნება, რომლებიც, მიუხედავად იმისა, რომ პერიოდული არ არის, აკმაყოფილებენ დამატებით პირობას, რომ მათ არ ჰქონდეთ თვითნებურად დიდი რეგიონები, რომლებიც პერიოდულია. ეს აზრი ისევე შეიძლება მოისმინოს, როგორც აპერიოდულ მოზაიკაში, თუ ავიღებთ საკმარისად დიდ ნაჭერს, ის არ მეორდება დანარჩენ მოზაიკაში. დარწმუნდით, რომ მოზაიკის ნიმუში, რომელიც აქამდე არ არის აღწერილი პერიოდული გამოცემა, არ არის აპერიოდული, რადგან ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ თვითნებურად დიდი რეგიონები, რომლებიც პერიოდულია, უბრალოდ ავიღოთ თვითნებურად დიდი ნაწილები, რომლებიც არ შეიცავს არცერთ სამკუთხედს.
ასე რომ, კითხვა, რომელიც ბუნებრივად ჩნდება, არის შემდეგი:
არსებობს აპერიოდული მოზაიკა?
ამ კითხვამ, რომლის შესწავლა დაიწყო გასული საუკუნის მეორე ნახევარში, მალევე მიიღო დადებითი პასუხი და ერთ-ერთი პირველი, ვინც იპოვა აპერიოდული ტესელაცია იყო რაფაელ მ. რობინსონი. რობინსონის მიერ 1971 წელს აღწერილი მოზაიკა შედგებოდა 6 თანმიმდევრული ტესერისგან.
რობინსონის ფილები
რამდენიმე წლის შემდეგ, ასევე 70-იან წლებში, როჯერ პენროზმა მოიპოვა ორი აპერიოდული ფილა, რომელთა აგებაც შესაძლებელი იყო, თითოეულში მხოლოდ ორი განსხვავებული ფილა გამოიყენებოდა. ამ ტესელაციებიდან პირველი ორი განსხვავებული რომბით არის ჩამოყალიბებული:
პენროზის ფილები (რომბები)
მოზაიკის დამზადება შეგიძლიათ შემდეგნაირად:
პენროზის მოპირკეთება
ამ აპერიოდული კრამიტიდან მეორე მოცემულია ორი ცალით, რომლებიც ცნობილია როგორც კიტი და ისარი, გასაგები მიზეზების გამო:
პენროზის ფილები (კომეტა და ისარი)
კარგად, არსებობს ეჭვი, რომ პლანტარი შეიძლება იყოს შემდეგი:
არსებობს თუ არა ერთი კრამიტით ჩამოყალიბებული აპერიოდული მოზაიკა?
ეს პრობლემა ცნობილია როგორც აინ სტეინის პრობლემა (გერმანულიდან „ქვა“) და თითქმის 50 წელია ის გადაუჭრელი რჩებოდა. გასულ მარტამდე!
აინ სტეინის აღმოჩენა
20 მარტს მეცნიერებმა დევიდ სმიტმა, ჯოზეფ სამუელ მაიერსმა, კრეიგ ს. კაპლანმა და ჩეიმ გუდმან-სტროსმა კემბრიჯის, ვატერლოოსა და არკანზასის უნივერსიტეტებიდან გამოაქვეყნეს ნაშრომი "აპერიოდული მონოტილი", სადაც მათ აღწერეს ყველაზე მოთხოვნადი კრამიტის შესაძლო ფორმა, რომელიც წარმოშობს აპერიოდულ მოზაიკას.
ფილა აღწერილია სმიტის, მაიერსის, კაპლანისა და გუდმან-სტროსის მიერ
ამ ერთი კრამიტით, რომელიც მეჩვენება, რომ ძალიან ჰგავს მაისურს, ის აჩვენებს, რომ აპერიოდული მოზაიკის აგება შესაძლებელია:
კრამიტის აპერიოდული მოზაიკა
თუ თქვენი ცნობისმოყვარეობა ფხიზელია ამ თემის მიმართ, შეგიძლიათ უფრო ღრმად ჩაუღრმავდეთ ამ აღმოჩენას შემდეგ ვიდეოში.
სადაც მისი აღმომჩენები საუბრობენ სხვა რელევანტურ ადამიანებთან, მათ შორის ფიზიკაში ნობელის პრემიის როჯერ პენროუზის.
ABCdario de las Matemáticas არის განყოფილება, რომელიც წარმოიქმნება სამეფო ესპანეთის მათემატიკური საზოგადოების (RSME) გავრცელების კომისიასთან თანამშრომლობით.
ᲐᲕᲢᲝᲠᲘᲡ ᲨᲔᲡᲐᲮᲔᲑ
ვიქტორ მ. მანერო
