– 捜索をやめてください！ ついに見つけた』とマッカーニガン長官は叫んだ。
– 誰ですか？ ピエロン少尉は尋ねた。
「想像したこともないほど、最もずるい悪党の一人に。 50年近く探し続けています。
– 知りませんでした、長官。 それは誰のことですか？
– 彼の番号はアイン・シュタインですが、それを見つけるのにほぼ一生かかりました。
- 誰のことですか？ そこにあなたの写真はありますか？
– はい、私はここにそれを持っています、これはそのように見えますが、その無邪気な外観にだまされないでください、ここにいるこの紳士は、ほぼXNUMX年にわたって私たちをハラハラさせ続けてきました。
そこでマッカーニガンはエージェント・ピエロンにアイン・シュタインの写真を見せました、この写真:
スタインで。
警察官のこの短い歴史は冗談のように思えるかもしれませんが、刑事を数学者に置き換えると、それは近年起こった最も素晴らしい数学的発見の XNUMX つになります。 しかし、この話の範囲を理解するには、まず数学と芸術が融合する分野の XNUMX つであるモザイクについて話さなければなりません。
モザイク新聞
私たちは皆、人生のある時点でモザイクを見たことがあるでしょう。 これらは、小さなピースを組み合わせて作られた小さな芸術的または装飾的な作品です。
モザイクの例
数学でモザイクについて話すとき、私たちは通常、テッセレーションとして知られるものを指します。これは、ピースまたはタイルが共通のエッジを持ち、穴が残らないようにピースまたはタイルを配置する方法です。
昔、数学者や数学者は次のような疑問を提起しました。
どのような種類のピースを平面にタイル化できますか?
つまり、タイルが共通の面で互いに接触し、平面に隙間がないように配置するために、どのような種類のピースを使用できるかということです。 円のみを使用して平面をタイル化したい場合、穴が残ってしまうため、明らかに円はこの選択グループに含まれていません。 さあ、固定グラウトを打設する必要があります。
円は隙間を残す
ただし、三角形、正方形、六角形など、平面をタイル化できる形状は他にもたくさんあります。
単一の正多角形によるテッセレーション
あるいは、これらの図形や他の図形を組み合わせて平面をタイル状に並べることもできます。
複数の正多角形によるテッセレーション
あるいは、より贅沢な組み合わせで飛行機をタイル状に並べることもできます。
その他の可能なタイル張り
しかし、あなたが提示した多種多様なタイルについてよく考えてみましたが、それらにはすべて共通点があり、それは周期的であるということです。 周期的という用語は、モザイク全体を同じままにする、ゼロ以外の何らかの変換があるという事実を指します。 私たちが理解しているところによると、これは、表面をタイル張りにし、目をセラミックで塗り、誰かがモザイク全体を特定の方向に動かし、その後再び目を覆った場合、元のモザイクとの違いを認識できなくなるという事実に相当します。そして追放された者。
新聞なしのモザイク
周期的タイリングとは対照的に、非周期的タイリングは、モザイクに同じ外観を残す、ゼロではなく平行移動がないものです。 非周期的なモザイクを見つけるのは難しくありません。たとえば、周期的なタイルを取得するだけで十分です。たとえば、正方形のみで形成され、モザイク全体の XNUMX つの正方形が XNUMX つの三角形に分割されていると考えてみましょう。 。 明らかに、これは依然として平面のテッセレーションですが、変更された位置を観察するだけで元のモザイクとその移動されたモザイクを区別できるため、テッセレーション全体を同じままにする変換はありません。 XNUMXつの三角形。
非周期的なタイリング
しかし、物事が面白くなるのはこれからです。非周期モザイクの概念が登場するときです。非周期モザイクとは、周期的ではないものの、周期的な任意の大きな領域を持たないという追加の条件を満たすモザイクのことです。 このアイデアは、非周期的なモザイクのように聞こえるのと同じように、十分に大きな部分を取得した場合、モザイクの残りの部分では繰り返されません。 どちらの三角形も含まない任意の大きな部分を取得するだけで、周期的な任意の大きな領域を見つけることができるため、これまでどの定期誌にも記載されていないモザイク サンプルが非周期的でないことを確認してください。
したがって、自然に生じる疑問は次のとおりです。
非周期的なモザイクはありますか?
前世紀の後半に研究され始めたこの疑問はすぐに肯定的な答えを受け取り、非周期テッセレーションを最初に発見した人の一人がラファエル M. ロビンソンでした。 1971 年にロビンソンによって記載されたモザイクは、6 つの連続したテッセラで構成されていました。
ロビンソンタイル
数年後の 70 年代にも、ロジャー ペンローズは、それぞれ XNUMX つの異なるタイルのみを使用して構築可能な XNUMX つの非周期タイルを入手しました。 これらのテッセレーションの最初のものは、XNUMX つの異なるひし形で形成されています。
ペンローズタイル（ひし形）
このようにモザイクを生成できます。
ペンローズタイル
これらの非周期的なタイリングの XNUMX 番目は、明らかな理由から、凧と矢として知られる XNUMX つの部分によって与えられます。
ペンローズ タイル (彗星と矢)
さて、足底が次のようなものである可能性があるという疑いがあります。
単一のタイルによって形成される非周期的なモザイクはありますか?
この問題はアインシュタイン問題（ドイツ語で「石」を意味する）として知られており、ほぼ 50 年間未解決のままです。 去年のXNUMX月までは！
アインシュタインの発見
20月XNUMX日、ケンブリッジ大学、ウォータールー大学、アーカンソー大学の科学者デイビッド・スミス、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ、クレイグ・S・カプラン、チャイム・グッドマン＝ストラウスは、非常に求められているものの可能性のある形態を説明した著作「非周期的モノタイル」を発表した。ユニークな部分を持つ非周期的なモザイクを生み出すテッセラの後。
スミス、マイヤーズ、カプラン、グッドマン・ストラウスによって説明されたタイル
T シャツに非常によく似ているように見えるこの XNUMX つのタイルを使用して、次のような非周期的なモザイクを構築できることを示しています。
タイルの非周期的なモザイク
このテーマについて純粋な好奇心があれば、次のビデオでこの発見をさらに深く掘り下げることができます。
その中で、その発見者は、ノーベル物理学賞を受賞したロジャー・ペンローズ氏を含む、この分野の他の関係者と話しています。
ABCdario de las Matemáticas は、王立スペイン数学協会 (RSME) の普及委員会との協力から生まれたセクションです。
著者について
ビクター・M・マネロ
