- הפסק את החיפוש! "סוף סוף מצאנו את זה," קרא הנציב מקקרניגן.
– למי אדוני? -שאל סגן משנה פיירון.
– לאחד הנבלות החמקמקים ביותר שאי פעם יכולת לדמיין. אני מחפש אותו כבר כמעט 50 שנה.
– לא היה לי מושג, הנציב. על מי זה?
– המספר שלו הוא עין שטיין ולקח לי כמעט חיים שלמים למצוא אותו.
- על מי זה? יש לך תמונות שלך שם?
– כן, יש לי את זה כאן, ככה זה נראה, אבל אל תלך שולל מהמראה התמים שלו, האדון הקטן הזה כאן שמר אותנו במתח כבר כמעט עשרה עשורים.
מקקרניגן הראה אז לסוכן פיירון את התמונה של עין שטיין, התמונה הזו:
בשטיין.
סיפור המשטרה הקצר הזה אולי נראה כמו בדיחה, אבל אם נחליף בלשים למתמטיקאים, הוא הופך לאחת התגליות המתמטיות הנפלאות ביותר שנחוו בשנים האחרונות. אבל כדי להבין את היקף הסיפור הזה עלינו לדבר תחילה על אחד התחומים שבהם מתמזגים מתמטיקה ואמנות: פסיפסים.
עיתוני פסיפס
כולנו ראינו פסיפס בשלב מסוים בחיינו. אלו הן יצירות אמנותיות או דקורטיביות קטנות הנעשות באמצעות חלקים קטנים המשתלבים זה בזה.
כמה דוגמאות של פסיפסים
כאשר אנו מדברים על פסיפסים במתמטיקה אנו מתייחסים בדרך כלל למה שמכונה tssellations, שהיא דרך לסדר חלקים או אריחים כך שלחלקים אלו יש קצוות משותפים ולא ישאירו חורים.
לפני זמן רב, מתמטיקאים שאלו את עצמם את השאלה הבאה:
עם איזה סוג של חלקים אני יכול להרכיב את המטוס?
כלומר, באיזה סוג של חלקים אני יכול להשתמש בשביל זה, להניח אותם כך שהאריחים יגעו בצדדים המשותפים, אין פערים במישור. ברור שהמעגלים אינם בקבוצה הנבחרת הזו, שכן אם אני רוצה לרצף את המטוס באמצעות עיגולים בלבד יישארו פערים. בחייך, אני אצטרך לשים דיס קבוע.
עיגולים משאירים פערים
עם זאת, ישנן דמויות רבות אחרות שבאמצעותן נוכל להדביק את המישור, כגון, למשל, משולשים, ריבועים או משושים.
טסלציה עם מצולע רגיל יחיד
או שנוכל לרצף את המטוס עם שילובים של דמויות אלה או אחרות.
טסל עם מספר מצולעים רגילים
לחלופין, אתה יכול אפילו להדביק את המטוס עם שילובים ראוותניים יותר:
טסלאות אפשריות אחרות
אבל הוא בחן את המגוון הגדול של נסיעות שהוא הציג, לכולן יש משהו משותף, כלומר, הן תקופתיות. המונח תקופתי מתייחס לעובדה שיש תרגום כלשהו, מלבד אפס, שמשאיר את הפסיפס כולו זהה. לפי מה שאנחנו מבינים, זה שווה ערך לכך שאם נרצף משטח, קרמיקה את העיניים ומישהו יזיז את כל הפסיפס לכיוון מסוים ואז יכסה את העיניים שוב, לא נוכל להעריך את ההבדל בין הפסיפס המקורי לעקור. אחד.
פסיפסים ללא עיתונים
בניגוד לנסיכות תקופתיות אנו מוצאים נסיכות לא מחזוריות, שהן כאלו שאין להן תרגום, לא בטל, שמותיר את הפסיפס עם אותו מראה. לא קשה למצוא פסיפסים לא מחזוריים, מספיק למשל לקחת טסלה תקופתית, בוא נחשוב למשל כזו שנוצרת רק מריבועים, ונחלק ריבוע בודד של הפסיפס כולו לשני משולשים. ברור שעדיין מדובר בציסלה של המישור, אבל לא יהיה תרגום שישאיר את כל הטסרה זהה, שכן נוכל להבחין בין הפסיפס המקורי לזה שנעקר שלו פשוט על ידי התבוננות במיקום המשתנה של שני המשולשים.
פסיפסים א-מחזוריים
אבל עכשיו הדברים מתחילים להיות מעניינים, כי זה כאשר מופיע המושג של פסיפס א-מחזורי, שהם אלה שבהיותם תקופתיים, אינם מקיימים את התנאי הנוסף שאין להם אזורים גדולים באופן שרירותי שהם תקופתיים. באותו אופן ניתן לשמוע את הרעיון הזה כמו בפסיפס א-מחזורי, אם ניקח חתיכה גדולה מספיק, הוא לא חוזר על עצמו בשאר הפסיפס. ודא שדגימת הפסיפס שאף כתב עת לא מתאר קודם לכן אינה א-מחזורית מכיוון שאנו יכולים למצוא אזורים גדולים באופן שרירותי שהם תקופתיים, פשוט קחו חלקים גדולים באופן שרירותי שאינם כוללים אף משולש.
אז השאלה שעולה באופן טבעי היא זו:
האם יש פסיפסים א-מחזוריים?
שאלה זו, שהחלה לדון במחצית השנייה של המאה הקודמת, קיבלה עד מהרה תשובה חיובית ואחד הראשונים שמצאו טבלה א-מחזורית היה רפאל מ' רובינסון. הפסיפס שתיאר רובינסון ב-1971 היה מורכב מ-6 אריחים עוקבים.
אריחי רובינסון
כמה שנים מאוחר יותר, גם בשנות ה-70, השיג רוג'ר פנרוז שני אריחים א-מחזוריים שניתן לבנות, כל אחד מהם משתמש רק בשני אריחים שונים. הראשון מבין הנסיכות הללו מורכב משני מעוינים שונים:
פנרוז טסרה (מעוינים)
אתה יכול לייצר פסיפסים בצורה כזו:
פסיפס פנרוז
השני מבין האדים הא-מחזוריים הללו ניתנת על ידי שני חלקים הידועים בשם השביט והחץ, מסיבות ברורות:
פנרוז טסרה (עפיפון וחץ)
ובכן, ישנה השאלה כי פלנטר יכול להיות כדלקמן:
האם יש פסיפסים א-מחזוריים המורכבים מאריח בודד?
בעיה זו נודעה כבעיית עין שטיין (מהגרמנית "אבן") ובמשך כמעט 50 שנה היא נותרה בלתי פתורה. עד מרץ האחרון!
גילוי עין שטיין
ב-20 במרץ, פרסמו המדענים דיוויד סמית', ג'וזף סמואל מאיירס, קרייג ס. קפלן וחיים גודמן-שטראוס מאוניברסיטאות קיימברידג', ווטרלו וארקנסו את העבודה 'An aperiodic monotile' שבה תיארו צורה אפשרית של חיפוש כזה. אריח אפטר שמוליד פסיפס א-מחזורי עם יצירה ייחודית.
טייל מתואר על ידי סמית', מאיירס, קפלן וגודמן-שטראוס
עם האריח הבודד הזה, שלדעתי נראה מאוד דומה לחולצת טריקו, זה מראה שניתן לבנות פסיפסים א-מחזוריים כמו הבאים:
פסיפס א-מחזורי של אריח
אם אתה סקרן לגבי הנושא, אתה יכול להעמיק בגילוי זה בסרטון הבא,
שבו מגלים מדברים עם אנשים רלוונטיים אחרים באזור, כולל פרס נובל לפיזיקה רוג'ר פנרוז.
ה-ABCdario de las Mathematics הוא קטע הנובע משיתוף הפעולה עם ועדת ההפצה של האגודה המלכותית למתמטיקה הספרדית (RSME).
על הסופר
ויקטור מ' מנרו
