– Interrompi la ricerca! "Finalmente l'abbiamo trovato", ha esclamato il commissario MacCarnigan.
– A chi signore? -chiese il sottotenente Pierron.
– A uno dei mascalzoni più sfuggenti che potresti mai immaginare. Lo cerco da quasi 50 anni.
– Non ne avevo idea, signor Commissario. Di chi si tratta?
– Il suo numero è Ein Stein e mi ci è voluta quasi una vita per trovarlo.
- Di chi si tratta? Hai qualche tua foto lì?
– Sì, ce l'ho proprio qui, ecco come appare, ma non fatevi ingannare dal suo aspetto innocente, questo signorino qui ci tiene con il fiato sospeso da quasi dieci decenni.
MacCarnigan ha poi mostrato all'agente Pierron la foto di Ein Stein, questa foto:
A Stein.
Questa breve storia poliziesca può sembrare uno scherzo, ma se cambiamo detective con matematici, diventa una delle scoperte matematiche più meravigliose che siano state vissute negli ultimi anni. Ma per comprendere la portata di questa storia dobbiamo prima parlare di uno dei campi in cui matematica e arte si fondono: il mosaico.
Giornali Mosaico
Tutti abbiamo visto un mosaico ad un certo punto della nostra vita. Si tratta di piccole opere artistiche o decorative realizzate utilizzando piccoli pezzi che si incastrano tra loro.
Alcuni esempi di mosaici
Quando si parla di mosaico in matematica si fa normalmente riferimento alle cosiddette tassellazioni, che è un modo di disporre pezzi o tessere in modo che questi pezzi abbiano bordi comuni e non lascino buchi.
Molto tempo fa i matematici si ponevano la seguente domanda:
Con che tipo di pezzi posso tassellare il piano?
Cioè, che tipo di pezzi posso usare per questo, posizionandoli in modo che le tessere si tocchino sui lati comuni, non ci siano spazi vuoti nel piano. Chiaramente i cerchi non sono in questo gruppo selezionato, poiché se voglio affiancare il piano utilizzando solo i cerchi rimarranno degli spazi vuoti. Andiamo, devo mettere lo stucco fisso.
I cerchi lasciano degli spazi vuoti
Esistono però molte altre figure con cui possiamo tassellare il piano, come, ad esempio, triangoli, quadrati o esagoni.
Tassellazione con un unico poligono regolare
Oppure possiamo affiancare l'aereo con combinazioni di queste o altre figure.
Tassellazione con più poligoni regolari
Oppure puoi anche tassellare l'aereo con combinazioni più stravaganti:
Altre tassellazioni possibili
Ma ha considerato la grande varietà di tassellazioni che ha presentato, tutte hanno qualcosa in comune, e cioè sono periodiche. Il termine periodico si riferisce al fatto che esiste qualche traduzione, diversa dallo zero, che lascia l'intero mosaico uguale. Da quello che abbiamo capito, equivale a che se piastrellamo una superficie, ceramiciamo gli occhi e qualcuno sposta l'intero mosaico in una direzione specifica e poi copre nuovamente gli occhi non saremo in grado di apprezzare la differenza tra il mosaico originale e quello spostato uno.
Mosaici senza giornali
In contrasto con le tassellazioni periodiche troviamo le tassellazioni non periodiche, che sono quelle per le quali non esiste traduzione, né nulla, che lascia il mosaico con lo stesso aspetto. Non è difficile trovare mosaici non periodici, basta ad esempio prendere una tassellazione periodica, pensiamo ad esempio a una formata solo da quadrati, e dividiamo un unico quadrato dell'intero mosaico in due triangoli. Chiaramente si tratta ancora di una tassellazione del piano, ma non ci sarà alcuna traslazione che lasci uguale l'intera tessera poiché potremo distinguere il mosaico originale da quello spostato semplicemente osservando la posizione modificata dei due triangoli.
Mosaici aperiodici
Ma è ora che le cose si fanno interessanti, perché è quando appare il concetto di mosaico aperiodico, che sono quelli che, essendo periodici, non soddisfano la condizione aggiuntiva di non avere regioni arbitrariamente grandi che siano periodiche. Allo stesso modo in cui si sente questa idea come in un mosaico aperiodico, se prendiamo un pezzo abbastanza grande, esso non si ripete nel resto del mosaico. Assicurati che il campione di mosaico che nessun periodico descrive prima non sia aperiodico poiché possiamo trovare regioni arbitrariamente grandi che sono periodiche, basta prendere pezzi arbitrariamente grandi che non includano nessuno dei due triangoli.
Quindi la domanda che sorge spontanea è questa:
Esistono mosaici aperiodici?
Questa questione, che cominciò a essere discussa nella seconda metà del secolo scorso, ricevette presto una risposta affermativa e uno dei primi a trovare una tassellatura aperiodica fu Raphael M. Robinson. Il mosaico descritto da Robinson nel 1971 era composto da 6 tessere successive.
Piastrelle Robinson
Pochi anni dopo, sempre negli anni '70, Roger Penrose ottenne due piastrelle aperiodiche che potevano essere costruite, ciascuna utilizzando solo due piastrelle diverse. La prima di queste tassellazioni è composta da due diversi rombi:
Tessere Penrose (rombi)
Puoi produrre mosaici tal quali:
Mosaico di Penrose
La seconda di queste tassellazioni aperiodiche è data da due pezzi conosciuti come la cometa e la freccia, per ovvi motivi:
Tessere Penrose (aquilone e freccia)
Bene, c'è la domanda che un plantare potrebbe essere il seguente:
Esistono mosaici aperiodici formati da un'unica tessera?
Questo problema è conosciuto come il problema di Ein Stein (dal tedesco “pietra”) e per quasi 50 anni è rimasto irrisolto. Fino allo scorso marzo!
La scoperta di Ein Stein
Il 20 marzo gli scienziati David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan e Chaim Goodman-Strauss delle Università di Cambridge, Waterloo e Arkansas hanno pubblicato l'opera "An aperiodic monotile" in cui descrivono una possibile forma del tanto ricercato tessera -dopo che dà origine ad un mosaico aperiodico con un pezzo unico.
Piastrella descritta da Smith, Myers, Kaplan e Goodman-Strauss
Con questa singola tessera, che secondo me somiglia molto ad una maglietta, dimostra che si possono realizzare mosaici aperiodici come il seguente:
Mosaico aperiodico di una piastrella
Se l'argomento ti ha incuriosito, puoi approfondire questa scoperta nel video seguente,
in cui i suoi scopritori parlano con altre persone importanti del settore, tra cui il Premio Nobel per la fisica Roger Penrose.
L'ABCdario de las Mathematics è una sezione che nasce dalla collaborazione con la Commissione di Disseminazione della Reale Società Matematica Spagnola (RSME).
CIRCA L'AUTORE
Vittorio M.Manero
