Ebben a cikkben a ChatGPT matematikai ismereteit fogjuk tesztelni. Megpróbáljuk kihasználni a mesterséges intelligenciát, hogy ellenpéldát találjunk az algebra alaptételére, felfedezve, hogy az kétségtelenül a Fields-érem felé indítana bennünket.
Ha egy 3-as fokú polinom gyökére kérdezünk, ebben az esetben minden valós, a ChatGPT azt állítja, hogy az analitikai felbontás függhet a javasolt polinomtól, ezért javasoljuk egy iteratív numerikus módszer, például a Newton-Raphson módszer használatát.
Hiba a derivált számításánál
Eddig nem kételkedhetünk az AI matematikai képességében, ezért megpróbáltuk megoldani a p(x) = x3 – 3×2 + 4 polinom gyökeinek megtalálását, és meglepetésünkre rosszul számolt. a származék, így a gyökök megszerzése nem helyes. A polinom gyökeként x = 0-t ad vissza, és megkérjük, hogy ellenőrizze. Természetesen tudatában van a hiba létezésének, de nem tudja, hol történt. Láttuk, hogy a hiba a polinom deriváltjában van, és azt kérjük, hogy a Newton-Raphson módszerrel a gyökökből számítsuk ki. Meglepő módon ismét számítási hibát követ el, ezúttal egy egyszerű művelettel, ahogy az alábbi képen is látható:
Tévedés
A számítások hibáját észlelve ismét rákérdezünk, újabb hibát követve el, így megadjuk neki a Newton-Raphson-módszer első iterációját, azaz x₁ = 5/3, és megkérjük, hogy folytassa az iterációkat, ami x₁ = 5-öt eredményez. /3 a polinom gyöke. Megerősítjük azzal, hogy ismét megkérdezzük, hogy az 5/3 érték a polinom gyöke-e, és igenlő választ kapunk. Megkérjük, hogy számítsuk ki a polinom értékét ezen az értéken, és mivel az eredmény különbözik a nullától, megmutatjuk, hogy az nem lehet gyök. Megérti, és elnézést kér, ahogy az alábbiakban látható:
Arra a következtetésre jutunk, hogy a Newton-Raphson-módszer elmélete helyes, alkalmazása azonban nem, ezért megpróbáljuk megtalálni a gyököket egy másik módszerrel, például a polinom faktorizálásával.
Ebben az esetben azt találjuk, hogy a p(x) polinom gyökei x = r és x = 1 ± 2i.
Amikor meg kell győződni arról, hogy p(1+2i) értéke nem nulla, és ezért nem lehet a polinomunk gyöke, ismét elismerjük a hibát. Ebbe a szituációba jutva egy támponttal megyünk, és elmondjuk neki, hogy x = – 1 a polinom valós gyöke, és a többi gyök számít. Első válasza nem is lehetne meglepőbb, hiszen az x = – 1 mellett a p(x)=4 – 3×2 + x3 polinom többi gyöke x = 1 + 2i és x = 1 – 2i. . Akár négyszer is hibás eredményt ad, így nincs más dolgunk, mint új gyökérrel ellátni. Ebben az esetben ahelyett, hogy megadnánk, megkérdezzük, hogy x = 2 a polinomunk gyöke. Döntse el maga a választ, vagy inkább a számításokat, amelyeket a ChatGPT végez annak ellenőrzésére, hogy x = 2 nem gyök:
A számítások ismételt ellenőrzése után fejezze be annak magyarázatát, hogy polinomunk gyökei x = – 1, x = 1 és x = 2.
Megmutatjuk, hogy mindhárom gyök a helyes értéket adja vissza, vagyis az x = 1 nem gyök, míg a másik két érték igen. Nem adjuk fel, és megpróbáljuk megtalálni a polinom harmadik gyökerét, és pontosan itt találjuk a legnagyobb félreértelmezést. Magyarázataink: „Az algebra alaptétele megállapítja, hogy minden fokszámú polinomnak pontosan n gyöke van, mind a valósnak, mind az összetettnek. Így ha egy n fokú polinomnak k valós gyöke van, akkor nk komplex gyökével kell rendelkeznie. Eddig egyetértünk. Folytatjuk: „A p(x) = 4 – 3×2 + x3 polinom esetében azt találtuk, hogy két valós gyöke van, x = – 1 és x = 2. Mivel p(x) egy fokú polinomot, akkor kell egy további komplex gyöke. Ez a komplex gyök x = 3 ± 1i. Nem tudunk kikeveredni a döbbenetből, és azt gondoljuk, hogy a két gyökér közül csak az egyiket akarta megmutatni, ezért adunk neki még egy esélyt, aminek eredménye:
Tehát ha igazunk van, most találtunk egy ellenpéldát az algebrai alaptételre, egy 3-as fokú, 4 gyökű polinomra. Pályázunk a Fields-éremért?
Az AI megerősítette, hogy válasza még kétszer helyes, ami azt mutatja, hogy egy 3-as fokú polinomnak 4 gyöke lehet. Még arra is vállalkoztunk, hogy a felezési módszerrel megtaláljuk őket. Most igen, feladjuk az egyszerű 3-as fokú polinom gyökeinek keresését. Még egy utolsó tablettával búcsúzunk:
Végső összefoglalóként nem azt mondjuk, hogy a ChatGPT egy rossz mesterséges intelligencia, távolról sem, ha nem éppen az ellenkezője, de nagyon jó mesterséges intelligencia, de önmagában, a természetes nyelvi feldolgozásban, bár a matematikában még mindig van egy hosszú az út, tanulj. Kritikusnak kell lennünk azokkal az eredményekkel kapcsolatban, amelyeket a motorok visszaadnak nekünk: bármennyire is jól magyarázzák, nem igazak, és úgy tűnik, hiányzik egy ember, aki ellenőrizni tudja az igazukat.
A SZERZŐRŐL
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Ez a cikk eredetileg a The Conversation oldalon jelent meg.
