U ovom članku ćemo testirati matematičko znanje ChatGPT-a. Pokušat ćemo iskoristiti prednosti umjetne inteligencije kako bismo pronašli protuprimjer temeljnom teoremu algebre, otkrivajući da bi nas to nedvojbeno lansiralo prema Fieldsovoj medalji.
Ako pitamo o korijenima polinoma stupnja 3, u ovom slučaju potpuno realnog, ChatGPT tvrdi da analitička rezolucija može ovisiti o predloženom polinomu, stoga preporučujemo korištenje iterativne numeričke metode kao što je Newton-Raphsonova metoda.
Greška u izračunu derivata
Za sada ne možemo sumnjati u matematičke sposobnosti umjetne inteligencije, pa smo je pokušali natjerati da riješi problem pronalaženja korijena polinoma p(x) = x3 – 3×2 + 4 i na naše iznenađenje napravio je pogrešan izračun izvedenice , pa dobivanje korijena nije ispravno. Vraća x = 0 kao korijen polinoma i tražimo da to provjeri. Naravno, svjestan je postojanja greške, ali ne zna gdje je nastala. Vidjeli smo da je pogreška u izvodu polinoma i tražimo da je izračunata iz korijena pomoću Newton-Raphsonove metode. Iznenađujuće, ponovno čini računsku pogrešku, ovaj put u jednostavnoj operaciji, kao što možemo vidjeti na sljedećoj slici:
Pogrešna procjena
Uočivši pogrešku u izračunima, pitamo ga ponovno, čineći još jednu pogrešku, pa mu dajemo prvu iteraciju Newton-Raphsonove metode, naime, x₁ = 5/3 i tražimo da nastavi s iteracijama, što rezultira x₁ = 5 /3 je korijen polinoma. Potkrepljujemo ponovnim pitanjem je li vrijednost 5/3 korijen polinoma i dobivamo potvrdan odgovor. Tražimo da izračunamo vrijednost polinoma na tu vrijednost, a budući da je rezultat različit od nule, pokazujemo da ne može biti korijen. On to razumije i ispričava se kao što vidimo u nastavku:
Zaključujemo da je teorija Newton-Raphsonove metode točna, ali njezina primjena nije, pa pokušavamo pronaći korijene koristeći drugu metodu, kao što je faktorizacija polinoma.
U tom slučaju nalazimo da su korijeni polinoma p(x) x = r i x = 1 ± 2i.
Kada se od vas traži da potvrdite da je vrijednost p(1+2i) različita od nule i stoga ne može biti korijen našeg polinoma, ponovno potvrdite pogrešku. Dolazeći do ove situacije, idemo s tragom i kažemo mu da je x = – 1 pravi korijen polinoma i da ostatak korijena izračunava. Njegov prvi odgovor ne može biti više iznenađujući, govoreći nam da su osim x = – 1, drugi korijeni polinoma p(x)=4 – 3×2 + x3 x = 1 + 2i i x = 1 – 2i. . Do četiri puta opet daje netočne rezultate, pa nam ne preostaje ništa drugo nego dati mu novi korijen. U ovom slučaju, umjesto da ga damo, pitamo je li x = 2 korijen našeg polinoma. Sami prosudite odgovor, odnosno izračune koje ChatGPT izvodi kako bi provjerio da x = 2 nije korijen:
Nakon što ponovno provjerite svoje izračune, završite objašnjavajući da su korijeni našeg polinoma x = – 1, x = 1 i x = 2.
Pokazat ćemo vam da sva tri korijena jesu, vraćajući ispravno, odnosno x = 1 nije korijen dok druge dvije vrijednosti jesu. Ne odustajemo i pokušavamo pronaći treći korijen polinoma, a upravo ondje nalazimo najveće krivo tumačenje. Naša objašnjenja: “Temeljni teorem algebre utvrđuje da svaki polinom stupnja ima točno n korijena, i realnih i kompleksnih. Dakle, ako polinom stupnja n ima k realnih korijena, tada mora imati nk kompleksnih korijena. Zasad se slažemo. Nastavljamo s: “U slučaju polinoma p(x) = 4 – 3×2 + x3, našli smo da ima dva realna korijena, x = – 1 i x = 2. Budući da je p(x) polinoma stupnja 3, tada mora imati dodatni kompleksni korijen. Ovaj kompleksni korijen je x = 1 ± 2i.” Ne možemo izaći iz čuđenja i mislimo da nam je samo htio pokazati jedan od dva korijena, pa mu dajemo još jednu priliku, što rezultira:
Dakle, ako smo u pravu, upravo smo pronašli protuprimjer temeljnom teoremu algebre, polinom 3. stupnja s 4 korijena. Kandidiramo li se za Fieldsovu medalju?
AI je ponovno potvrdio da je njezin odgovor točan još dva puta, pokazujući da polinom 3. stupnja može imati 4 korijena. Čak smo ih krenuli pronaći pomoću metode bisekcije. Sada da, odustajemo od traženja korijena jednostavnog polinoma 3. stupnja. Srdačno se opraštamo uz posljednju tabletu:
Kao konačni sažetak, ne kažemo da je ChatGPT loša umjetna inteligencija, daleko od toga, ako ne upravo suprotno, on je vrlo dobar AI, ali u svom vlastitom, u obradi prirodnog jezika, iako u matematici još uvijek ima dug put do ići.učiti. Moramo biti kritični prema rezultatima koje nam motori vraćaju: oni nisu istiniti koliko god bili dobro objašnjeni i čini se da nedostaje čovjek koji bi mogao provjeriti njihovu istinitost.
O AUTORU
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Ovaj je članak izvorno objavljen na The Conversation.
