– Zaustavite potragu! Napokon smo ga pronašli«, uzviknuo je povjerenik MacCarnigan.
– Tko gospodine? upita potporučnik Pierron.
“Za jednog od najskliskijih lupeža koje možete zamisliti. Tražio sam ga skoro 50 godina.
– Nisam imao pojma, komesaru. o kome se radi
– Njegov broj je Ein Stein i trebao mi je gotovo cijeli život da ga pronađem.
- O kome se radi? Imaš li svojih fotografija vani?
– Da, imam ga baš ovdje, ovako izgleda, ali neka vas ne zavara njegov nevini izgled, ovaj nas gospodin ovdje drži u neizvjesnosti gotovo deset desetljeća.
Tako je MacCarnigan pokazao agentu Pierronu fotografiju Eina Steina, ovu fotografiju:
U Steinu.
Ova kratka povijest policajaca može izgledati kao šala, ali ako detektive zamijenimo matematičarima, postaje jedno od najdivnijih matematičkih otkrića koja su se dogodila posljednjih godina. No, da bismo razumjeli opseg ove priče, prvo moramo govoriti o jednom od područja u kojem se spajaju matematika i umjetnost: mozaicima.
mozaik novine
Svi smo u nekom trenutku u životu vidjeli mozaik. To su mala umjetnička ili dekorativna djela koja se izrađuju pomoću malih komada koji se međusobno uklapaju.
Neki primjeri mozaika
Kada govorimo o mozaicima u matematici, obično mislimo na ono što je poznato kao teselacije, što je način slaganja dijelova ili pločica tako da ti dijelovi imaju zajedničke rubove i ne ostavljaju rupe.
Davno su matematičari i matematika postavili sljedeće pitanje
Kakvim komadima mogu obložiti avion?
Odnosno, koju vrstu komada mogu koristiti za to, postavljajući ih tako da se pločice dodiruju na zajedničkim stranama, da nema praznina u planu. Jasno je da krugovi nisu u ovoj odabranoj grupi, jer ako želim popločati ravninu koristeći samo krugove, ostavit će mi rupe. Hajde, morat ću baciti fiksnu žbuku.
krugovi ostavljaju praznine
Međutim, postoje mnogi drugi oblici kojima možemo obložiti ravninu, poput trokuta, kvadrata ili šesterokuta.
Teselacija s jednim pravilnim poligonom
Ili možemo obložiti ravninu kombinacijama ovih ili drugih figura.
Teselacija s nekoliko pravilnih poligona
Ili čak možete popločati avion ekstravagantnijim kombinacijama:
Ostala moguća popločavanja
Ali razmislili ste o velikoj raznolikosti popločavanja koje ste predstavili, svi oni imaju nešto zajedničko, a to je da su periodični. Izraz periodični odnosi se na činjenicu da postoji neki prijevod, osim nule, koji cijeli mozaik ostavlja istim. Koliko mi razumijemo, to je jednako činjenici da ako popločimo površinu, obložimo oči keramikom i netko pomakne cijeli mozaik u određenom smjeru i zatim ponovno pokrije oči, nećemo moći cijeniti razliku između originalnog mozaika i onaj raseljeni.
mozaici bez novina
Za razliku od periodičkih popločavanja nalazimo neperiodična popločavanja, koja su ona za koja nema translacije, a ne nule, koja ostavlja mozaik s istim izgledom. Nije teško pronaći neperiodične mozaike, dovoljno je, na primjer, uzeti periodičnu pločicu, zamislimo, na primjer, onu koju čine samo kvadrati, a jedan kvadrat cijelog mozaika podijeljen je na dva trokuta. . Jasno je da je to još uvijek teselacija ravnine, ali neće biti prijevoda koji će cijele tesere ostaviti istim budući da ćemo moći razlikovati izvorni mozaik od njegovog pomaknutog jednostavno promatrajući modificirani položaj dvaju trokuta.
aperiodično popločavanje
Ali sada stvari postaju zanimljive, jer se tada pojavljuje koncept aperiodičnih mozaika, koji su oni koji, iako nisu periodični, zadovoljavaju dodatni uvjet da nemaju proizvoljno velike regije koje su periodične. Na isti način kako se ova ideja može čuti kao u aperiodičnom mozaiku, ako uzmemo dovoljno velik komad, on se ne ponavlja u ostatku mozaika. Uvjerite se da uzorak mozaika koji nijedan periodični časopis prije nije opisao nije aperiodičan budući da možemo pronaći proizvoljno velika područja koja su periodična, samo uzmite proizvoljno velike dijelove koji ne uključuju niti jedan trokut.
Dakle, pitanje koje se prirodno nameće je sljedeće:
Postoje li aperiodični mozaici?
Ovo pitanje, koje se počelo proučavati u drugoj polovici prošlog stoljeća, ubrzo je dobilo potvrdan odgovor, a jedan od prvih koji je pronašao aperiodsku teselaciju bio je Raphael M. Robinson. Mozaik koji je opisao Robinson 1971. sastojao se od 6 uzastopnih tesera.
robinzon pločice
Nekoliko godina kasnije, također 70-ih, Roger Penrose dobio je dvije aperiodične pločice koje su se mogle graditi, a svaka je koristila samo dvije različite pločice. Prvu od ovih teselacija čine dva različita romba:
Penrose pločice (rombovi)
Mozaike možete proizvesti kao takve:
Penrose popločavanje
Drugo od ovih aperiodičnih popločavanja daju dva dijela poznata kao zmaj i strijela, iz očitih razloga:
Penroseove pločice (komet i strelica)
Pa, postoji sumnja da bi plantar mogao biti sljedeći:
Postoje li aperiodični mozaici formirani od jedne pločice?
Ovaj problem je poznat kao Ein Stein problem (iz njemačkog za "kamen") i gotovo 50 godina je ostao neriješen. Sve do prošlog ožujka!
Otkriće Ein Steina
Dana 20. ožujka znanstvenici David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan i Chaim Goodman-Strauss sa sveučilišta Cambridge, Waterloo i Arkansas objavili su rad 'An aperiodic monotile' u kojem su opisali mogući oblik vrlo traženog nakon tesera iz kojih nastaje aperiodični mozaik s jedinstvenim komadom.
Pločica koju su opisali Smith, Myers, Kaplan i Goodman-Strauss
S ovom jednom pločicom, koja mi se čini vrlo sličnom majici, on pokazuje da se mogu graditi aperiodični mozaici poput sljedećeg:
Aperiodični mozaik pločice
Ako je vaša znatiželja trezvena o ovoj temi, možete dublje proniknuti u ovo otkriće u sljedećem videu,
u kojem njezini otkrivači razgovaraju s drugim relevantnim ljudima u tom području, uključujući Nobelovu nagradu za fiziku Rogera Penrosea.
ABCdario de las Matemáticas je odjel koji proizlazi iz suradnje s Komisijom za diseminaciju Kraljevskog španjolskog matematičkog društva (RSME).
O AUTORU
Victor M. Manero
