– खोज बंद करो! कमिश्नर मैककार्निगन ने कहा, "आखिरकार हमें यह मिल गया।"
– किसको सर? -सेकेंड लेफ्टिनेंट पियरॉन से पूछा।
- सबसे मायावी बदमाशों में से एक जिसकी आप कभी कल्पना भी नहीं कर सकते। मैं लगभग 50 वर्षों से इसकी तलाश कर रहा हूं।
- मुझे कोई जानकारी नहीं थी, कमिश्नर। इसके बारे में कौन है?
- उसका नंबर ईन स्टीन है और उसे ढूंढने में मुझे लगभग पूरा जीवन लग गया।
- इसके बारे में कौन है? क्या आपके पास वहां अपनी कोई फोटो है?
- हां, मेरे पास यह यहीं है, यह ऐसा ही दिखता है, लेकिन इसके मासूम रूप से मूर्ख मत बनो, यहां के इस छोटे से सज्जन ने हमें लगभग दस दशकों तक रहस्य में रखा है।
इसके बाद मैककार्निगन ने एजेंट पियरॉन को ईन स्टीन की तस्वीर दिखाई, यह तस्वीर:
स्टीन में.
यह संक्षिप्त पुलिस कहानी एक मजाक की तरह लग सकती है, लेकिन अगर हम गणितज्ञों के लिए जासूस बदल दें, तो यह हाल के वर्षों में अनुभव की गई सबसे अद्भुत गणितीय खोजों में से एक बन जाती है। लेकिन इस कहानी के दायरे को समझने के लिए हमें पहले उन क्षेत्रों में से एक के बारे में बात करनी होगी जिसमें गणित और कला का विलय होता है: मोज़ाइक।
मोज़ेक समाचार पत्र
हम सभी ने अपने जीवन में कभी न कभी मोज़ेक देखा है। ये छोटे कलात्मक या सजावटी कार्य हैं जो एक साथ फिट होने वाले छोटे टुकड़ों का उपयोग करके बनाए जाते हैं।
मोज़ाइक के कुछ उदाहरण
जब हम गणित में मोज़ाइक के बारे में बात करते हैं तो हम आम तौर पर टेस्सेलेशन के नाम से जाने जाने वाले मोज़ेक का उल्लेख करते हैं, जो टुकड़ों या टाइलों को व्यवस्थित करने का एक तरीका है ताकि इन टुकड़ों में समान किनारे हों और छेद न रहें।
बहुत समय पहले, गणितज्ञ स्वयं से निम्नलिखित प्रश्न पूछते थे:
मैं किस प्रकार के टुकड़ों से विमान को टाइल कर सकता हूँ?
यानी, मैं इसके लिए किस प्रकार के टुकड़ों का उपयोग कर सकता हूं, उन्हें इस तरह रखूंगा कि टाइलें आम किनारों पर छूएं, विमान में कोई अंतराल न हो। स्पष्ट रूप से वृत्त इस चयनित समूह में नहीं हैं, क्योंकि यदि मैं केवल वृत्तों का उपयोग करके विमान को टाइल करना चाहता हूँ तो अंतराल बचे रहेंगे। चलो, मुझे फिक्स्ड ग्राउट लगाना होगा।
वृत्त अंतराल छोड़ते हैं
हालाँकि, कई अन्य आकृतियाँ हैं जिनके साथ हम विमान को टेसेलेट कर सकते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, त्रिकोण, वर्ग या षट्भुज।
एकल नियमित बहुभुज के साथ टेस्सेलेशन
या हम इन या अन्य आकृतियों के संयोजन से विमान को टाइल कर सकते हैं।
कई नियमित बहुभुजों के साथ टेस्सेलेशन
या आप अधिक असाधारण संयोजनों के साथ विमान को टेसेलेट भी कर सकते हैं:
अन्य संभावित टेस्सेलेशन
लेकिन उन्होंने इस बात पर विचार किया है कि उन्होंने जितने विविध प्रकार के टेस्सेलेशन प्रस्तुत किए हैं, उन सभी में कुछ न कुछ समानता है, और वह यह है कि वे आवधिक हैं। आवधिक शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि शून्य के अलावा कुछ अनुवाद हैं, जो पूरे मोज़ेक को वही छोड़ देते हैं। हम जो समझते हैं, यह उसके बराबर है कि यदि हम एक सतह पर टाइल लगाते हैं, आंखों को सिरेमिक करते हैं और कोई व्यक्ति पूरे मोज़ेक को एक विशिष्ट दिशा में ले जाता है और फिर आंखों को फिर से ढक देता है तो हम मूल मोज़ेक और विस्थापित के बीच अंतर की सराहना करने में असमर्थ होंगे। एक।
समाचार पत्रों के बिना मोज़ाइक
आवधिक टेस्सेलेशन के विपरीत हमें गैर-आवधिक टेसेलेशन मिलते हैं, जो वे होते हैं जिनके लिए कोई अनुवाद नहीं होता है, शून्य नहीं, जो मोज़ेक को उसी उपस्थिति के साथ छोड़ देता है। गैर-आवधिक मोज़ाइक ढूंढना मुश्किल नहीं है, यह पर्याप्त है, उदाहरण के लिए, एक आवधिक टेस्सेलेशन लेने के लिए, आइए उदाहरण के लिए सोचें कि केवल वर्गों द्वारा गठित एक, और हम पूरे मोज़ेक के एक वर्ग को दो त्रिकोणों में विभाजित करते हैं। स्पष्ट रूप से यह अभी भी विमान का एक टेस्सेलेशन है, लेकिन ऐसा कोई अनुवाद नहीं होगा जो पूरे टेसेरा को वैसा ही छोड़ दे क्योंकि हम केवल दो त्रिकोणों की संशोधित स्थिति को देखकर मूल मोज़ेक और उसके विस्थापित मोज़ेक के बीच अंतर करने में सक्षम होंगे।
एपेरियोडिक मोज़ाइक
लेकिन अब चीजें दिलचस्प हो गई हैं, क्योंकि यह तब है जब एपेरियोडिक मोज़ेक की अवधारणा सामने आती है, जो कि आवधिक होने के कारण अतिरिक्त शर्त को पूरा नहीं करते हैं कि उनके पास मनमाने ढंग से बड़े क्षेत्र नहीं हैं जो आवधिक हैं। उसी तरह इस विचार को एपेरियोडिक मोज़ेक में सुना जा सकता है, यदि हम पर्याप्त बड़ा टुकड़ा लेते हैं, तो यह बाकी मोज़ेक में दोहराया नहीं जाता है। सुनिश्चित करें कि मोज़ेक नमूना जिसका पहले किसी भी आवधिक वर्णन नहीं किया गया है वह एपेरियोडिक नहीं है क्योंकि हम मनमाने ढंग से बड़े क्षेत्र पा सकते हैं जो आवधिक हैं, बस मनमाने ढंग से बड़े टुकड़े लें जिनमें कोई भी त्रिकोण शामिल नहीं है।
तो स्वाभाविक रूप से यह प्रश्न उठता है:
क्या एपेरियोडिक मोज़ेक हैं?
यह प्रश्न, जिस पर पिछली शताब्दी के उत्तरार्ध में चर्चा शुरू हुई, जल्द ही एक सकारात्मक उत्तर मिला और एपेरियोडिक टेस्सेलेशन खोजने वाले पहले लोगों में से एक राफेल एम. रॉबिन्सन थे। 1971 में रॉबिन्सन द्वारा वर्णित मोज़ेक 6 क्रमिक टाइलों से बना था।
रॉबिन्सन टाइल्स
कुछ साल बाद, 70 के दशक में भी, रोजर पेनरोज़ ने दो एपेरियोडिक टाइलें प्राप्त कीं जिनका निर्माण किया जा सकता था, प्रत्येक में केवल दो अलग-अलग टाइलों का उपयोग किया गया था। इनमें से पहला टेस्सेलेशन दो अलग-अलग समचतुर्भुजों से बना है:
पेनरोज़ टेसेरे (रम्बस)
आप मोज़ेक का उत्पादन इस प्रकार कर सकते हैं:
पेनरोज़ मोज़ेक
इन एपेरियोडिक टेसेलेशनों में से दूसरा, स्पष्ट कारणों से, धूमकेतु और तीर के नाम से जाने जाने वाले दो टुकड़ों द्वारा दिया गया है:
पेनरोज़ टेसेरे (पतंग और तीर)
खैर, सवाल यह है कि एक प्लांटर इस प्रकार हो सकता है:
क्या एपेरियोडिक मोज़ेक एक ही टाइल से बने होते हैं?
इस समस्या को ईन स्टीन समस्या (जर्मन में "एक पत्थर" के लिए) के रूप में जाना जाता है और लगभग 50 वर्षों से यह अनसुलझी बनी हुई है। पिछले मार्च तक!
ऐन स्टीन की खोज
20 मार्च को, कैम्ब्रिज, वाटरलू और अर्कांसस विश्वविद्यालयों के वैज्ञानिक डेविड स्मिथ, जोसेफ सैमुअल मायर्स, क्रेग एस. कपलान और चैम गुडमैन-स्ट्रॉस ने 'एन एपेरियोडिक मोनोटाइल' नामक कृति प्रकाशित की, जिसमें उन्होंने इस तरह के संभावित रूप का वर्णन किया है। - टाइल के बाद जो एक अनूठे टुकड़े के साथ एक एपेरियोडिक मोज़ेक को जन्म देती है।
स्मिथ, मायर्स, कपलान और गुडमैन-स्ट्रॉस द्वारा वर्णित टाइल
इस एकल टाइल के साथ, जो मेरी राय में एक टी-शर्ट के समान दिखती है, यह दर्शाती है कि निम्नलिखित जैसे एपेरियोडिक मोज़ाइक बनाए जा सकते हैं:
एक टाइल का एपेरियोडिक मोज़ेक
यदि आप इस विषय के बारे में उत्सुक हैं, तो आप निम्नलिखित वीडियो में इस खोज के बारे में गहराई से जान सकते हैं,
जिसमें इसके खोजकर्ता क्षेत्र के अन्य प्रासंगिक लोगों से बात करते हैं, जिनमें भौतिकी में नोबेल पुरस्कार विजेता रोजर पेनरोज़ भी शामिल हैं।
एबीसीडारियो डी लास गणित एक खंड है जो रॉयल स्पैनिश गणितीय सोसायटी (आरएसएमई) के प्रसार आयोग के सहयोग से उत्पन्न होता है।
लेखक के बारे में
विक्टर एम. मनेरो
