આ લેખમાં આપણે ChatGPT ના ગાણિતિક જ્ઞાનની ચકાસણી કરવા જઈ રહ્યા છીએ. અમે બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનું પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ શોધવા માટે આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સનો લાભ લેવાનો પ્રયત્ન કરીશું, તે શોધી કાઢીશું કે તે નિઃશંકપણે અમને ફિલ્ડ્સ મેડલ તરફ લઈ જશે.
જો આપણે ડિગ્રી 3 ના બહુપદીના મૂળ વિશે પૂછીએ, તો આ કિસ્સામાં તમામ વાસ્તવિક, ChatGPT દલીલ કરે છે કે વિશ્લેષણાત્મક રીઝોલ્યુશન સૂચિત બહુપદી પર આધારિત હોઈ શકે છે, તેથી અમે ન્યુટન-રાફસન પદ્ધતિ જેવી પુનરાવર્તિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ.
વ્યુત્પન્નની ગણતરીમાં ભૂલ
અત્યાર સુધી, અમે AI ની ગાણિતિક ક્ષમતા પર શંકા કરી શકતા નથી, તેથી અમે તેને બહુપદી p(x) = x3 – 3×2 + 4 ના મૂળ શોધવાની સમસ્યા હલ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો અને અમારા આશ્ચર્યની વાત એ છે કે તેણે ખોટી ગણતરી કરી. વ્યુત્પન્ન , તેથી મૂળ મેળવવા યોગ્ય નથી. તે બહુપદીના મૂળ તરીકે x = 0 પરત કરે છે અને અમે તેને તપાસવા માટે કહીએ છીએ. સ્વાભાવિક રીતે, તે ભૂલના અસ્તિત્વથી વાકેફ છે પરંતુ તે ક્યાં થઈ છે તે જાણતું નથી. અમે જોયું છે કે ભૂલ બહુપદીના વ્યુત્પન્નમાં છે અને અમે પૂછીએ છીએ કે તે ન્યૂટન-રાફસન પદ્ધતિ દ્વારા મૂળમાંથી ગણતરી કરવામાં આવી છે. આશ્ચર્યજનક રીતે, તે ફરીથી એક કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલ કરે છે, આ વખતે એક સરળ કામગીરીમાં, જેમ કે આપણે નીચેની છબીમાં જોઈ શકીએ છીએ:
ખોટી ગણતરી
ગણતરીમાં ભૂલની નોંધ લેતા, અમે તેને ફરીથી પૂછીએ છીએ, બીજી ભૂલ કરીએ છીએ, તેથી અમે તેને ન્યૂટન-રૅફસન પદ્ધતિનું પ્રથમ પુનરાવર્તન આપીએ છીએ, એટલે કે, x₁ = 5/3 અને અમે પુનરાવર્તનો ચાલુ રાખવાનું કહીએ છીએ, પરિણામે x₁ = 5 /3 એ બહુપદીનું મૂળ છે. અમે ફરીથી પૂછીને સમર્થન કરીએ છીએ કે શું મૂલ્ય 5/3 બહુપદીનું મૂળ છે, અને અમને હકારાત્મક જવાબ મળે છે. અમે તે મૂલ્ય પર બહુપદીના મૂલ્યની ગણતરી કરવાનું કહીએ છીએ, અને પરિણામ શૂન્યથી અલગ હોવાથી, અમે તેને બતાવીએ છીએ કે તે મૂળ હોઈ શકતું નથી. તે તેને સમજે છે અને માફી માંગે છે જેમ આપણે નીચે જોઈ શકીએ છીએ:
અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ન્યૂટન-રાફસન પદ્ધતિનો સિદ્ધાંત સાચો છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ નથી, તેથી અમે બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ, જેમ કે બહુપદીનું અવયવીકરણ.
આ કિસ્સામાં, આપણે શોધીએ છીએ કે બહુપદી p(x) ના મૂળ x = r અને x = 1 ± 2i છે.
જ્યારે p(1+2i) ની કિંમત બિન-શૂન્ય છે અને તેથી તે આપણા બહુપદીનું મૂળ હોઈ શકતું નથી તે ચકાસવા માટે કહેવામાં આવે ત્યારે, ફરીથી ભૂલ સ્વીકારો. આ સ્થિતિમાં પહોંચીને, અમે એક ચાવી સાથે જઈએ છીએ, અને અમે તેને કહીએ છીએ કે x = – 1 એ બહુપદીનું વાસ્તવિક મૂળ છે અને બાકીના મૂળ ગણતરી કરે છે. તેમનો પહેલો જવાબ વધુ આશ્ચર્યજનક ન હોઈ શકે, અમને કહે છે કે x = – 1 ઉપરાંત, બહુપદીના અન્ય મૂળ p(x)=4 – 3×2 + x3 છે x = 1 + 2i અને x = 1 – 2i . ચાર વખત સુધી તે ફરીથી ખોટા પરિણામો આપે છે, તેથી અમારી પાસે તેને નવા મૂળ સાથે પ્રદાન કરવા સિવાય કોઈ વિકલ્પ નથી. આ કિસ્સામાં, તે આપવાને બદલે, આપણે પૂછીએ છીએ કે x = 2 એ આપણા બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ. તમારા માટે જવાબ નક્કી કરો, અથવા તેના બદલે, x = 2 રુટ નથી તે ચકાસવા માટે ChatGPT જે ગણતરીઓ કરે છે:
તમારી ગણતરીઓ ફરીથી તપાસ્યા પછી, સમજાવીને સમાપ્ત કરો કે આપણા બહુપદીના મૂળ x = – 1, x = 1 અને x = 2 છે.
અમે તમને બતાવીશું કે ત્રણેય મૂળ છે, યોગ્ય પરત કરી રહ્યા છીએ, એટલે કે, x = 1 એ રુટ નથી જ્યારે અન્ય બે મૂલ્યો છે. અમે હાર માનતા નથી અને બહુપદીનું ત્રીજું મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ, અને તે ચોક્કસ છે જ્યાં આપણને સૌથી મોટું ખોટું અર્થઘટન મળે છે. અમારી સમજૂતીઓ: “બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય સ્થાપિત કરે છે કે ડિગ્રીના દરેક બહુપદીમાં વાસ્તવિક અને જટિલ બંને મૂળ n છે. આમ, જો ડિગ્રી n ના બહુપદીમાં k વાસ્તવિક મૂળ હોય, તો તે nk જટિલ મૂળ હોવા જ જોઈએ. અત્યાર સુધી અમે સંમત છીએ. અમે આની સાથે આગળ વધીએ છીએ: “બહુપદી p(x) = 4 – 3×2 + x3 ના કિસ્સામાં, અમને જાણવા મળ્યું છે કે તેના બે વાસ્તવિક મૂળ છે, x = – 1 અને x = 2. કારણ કે p(x) a છે. ડિગ્રી 3 નું બહુપદી, તો તેમાં વધારાનું જટિલ મૂળ હોવું આવશ્યક છે. આ જટિલ મૂળ x = 1 ± 2i છે.” અમે અમારા આશ્ચર્યમાંથી બહાર નીકળી શકતા નથી અને અમને લાગે છે કે તે અમને ફક્ત બે મૂળમાંથી એક જ બતાવવા માંગતો હતો, તેથી અમે તેને બીજી તક આપીએ છીએ, પરિણામે:
તેથી જો આપણે સાચા હોઈએ, તો આપણને બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનું પ્રતિઉદાહરણ મળ્યું છે, જે 3 મૂળ સાથે ડિગ્રી 4 નો બહુપદી છે. શું આપણે ફીલ્ડ્સ મેડલ માટે દોડી રહ્યા છીએ?
એઆઈએ પુનઃપુષ્ટિ કરી કે તેણીનો જવાબ વધુ બે વખત સાચો છે, જે દર્શાવે છે કે ડિગ્રી 3 બહુપદીમાં 4 મૂળ હોઈ શકે છે. અમે દ્વિભાજન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને શોધવાનું પણ નક્કી કર્યું. હવે હા, અમે સરળ ડિગ્રી 3 બહુપદીના મૂળ શોધવાનું છોડી દઈએ છીએ. અમે એક છેલ્લી ગોળી સાથે હૃદયપૂર્વક અલવિદા કહીએ છીએ:
અંતિમ સારાંશ તરીકે, અમે એમ નથી કહી રહ્યા કે ChatGPT એ ખરાબ આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સ છે, તેનાથી દૂર, જો તેનાથી વિરુદ્ધ નથી, તો તે ખૂબ જ સારી AI છે, પરંતુ તેની પોતાની રીતે, નેચરલ લેંગ્વેજ પ્રોસેસિંગમાં, જો કે ગણિતમાં તે હજુ પણ છે. લાંબી મજલ કાપવી. શીખો. એન્જિનો આપણને પાછા આપે છે તે પરિણામોની આપણે ટીકા કરવી જોઈએ: તેઓ ગમે તેટલી સારી રીતે સમજાવવામાં આવે તો પણ તે સાચા નથી, અને એવું લાગે છે કે એક માણસ ખૂટે છે જે તેમની સત્યતા ચકાસી શકે છે.
લેખક વિશે
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
આ લેખ મૂળ રૂપે The Conversation પર પ્રકાશિત થયો હતો.
