- શોધ બંધ કરો! અમે અંતે તે શોધી કાઢ્યું છે,' કમિશનર મેકકાર્નિગને કહ્યું.
- કોણ સાહેબ? સેકન્ડ લેફ્ટનન્ટ પિયરોને પૂછ્યું.
"સૌથી લપસણો બદમાશમાંના એક માટે તમે ક્યારેય કલ્પના કરી શકો છો. હું લગભગ 50 વર્ષથી તેને શોધી રહ્યો છું.
- મને કોઈ ખ્યાલ નહોતો, કમિશનર. તે કોના વિશે છે?
- તેનો નંબર આઈન સ્ટેઈન છે અને તેને શોધવામાં મને લગભગ આખી જીંદગી લાગી છે.
- તે કોના વિશે છે? શું તમારી પાસે તમારા કોઈ ફોટા છે?
– હા, મારી પાસે તે અહીં જ છે, તે જેવો દેખાય છે તે આ છે, પરંતુ તેના નિર્દોષ દેખાવથી મૂર્ખ બનશો નહીં, અહીંના આ સજ્જને લગભગ દસ દાયકાઓથી અમને સસ્પેન્સમાં રાખ્યા છે.
તેથી મેકકાર્નિગને એજન્ટ પિયરોનને આઈન સ્ટેઈનનો ફોટો બતાવ્યો, આ ફોટો:
સ્ટેઇન માં.
પોલીસકર્મીઓનો આ સંક્ષિપ્ત ઇતિહાસ મજાક જેવો લાગે છે, પરંતુ જો આપણે ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે ડિટેક્ટીવ બદલીએ, તો તે તાજેતરના વર્ષોમાં થયેલી સૌથી અદ્ભુત ગાણિતિક શોધોમાંની એક બની જાય છે. પરંતુ આ વાર્તાના અવકાશને સમજવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ એક એવા ક્ષેત્ર વિશે વાત કરવી પડશે જેમાં ગણિત અને કલા મર્જ થાય છે: મોઝેઇક.
મોઝેક અખબારો
આપણે બધાએ આપણા જીવનમાં અમુક સમયે મોઝેક જોયું છે. આ નાના કલાત્મક અથવા સુશોભન કાર્યો છે જે એકસાથે બંધબેસતા નાના ટુકડાઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે.
મોઝેઇકના કેટલાક ઉદાહરણો
જ્યારે આપણે ગણિતમાં મોઝેઇક વિશે વાત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે સામાન્ય રીતે જેને ટેસેલેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે તેનો ઉલ્લેખ કરીએ છીએ, જે ટુકડાઓ અથવા ટાઇલ્સને ગોઠવવાની એક રીત છે જેથી આ ટુકડાઓમાં સામાન્ય ધાર હોય અને તેમાં છિદ્રો ન રહે.
ઘણા સમય પહેલા ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નીચેનો પ્રશ્ન ઉઠાવ્યો હતો
હું પ્લેનને કયા પ્રકારના ટુકડાઓ સાથે ટાઇલ કરી શકું?
એટલે કે, તેના માટે હું કયા પ્રકારના ટુકડાઓનો ઉપયોગ કરી શકું છું, તેમને એવી રીતે મૂકીને કે ટાઇલ્સ એકબીજાને સામાન્ય બાજુઓ પર સ્પર્શે, પ્લેનમાં કોઈ અંતર નથી. સ્પષ્ટપણે વર્તુળો આ પસંદગીના જૂથમાં નથી, કારણ કે જો હું ફક્ત વર્તુળોનો ઉપયોગ કરીને પ્લેનને ટાઇલ કરવા માંગુ છું તો તેઓ મને છિદ્રો સાથે છોડી દેશે. આવો, મારે નિશ્ચિત ગ્રાઉટ નાખવાની છે.
વર્તુળો અંતર છોડી દે છે
જો કે, અન્ય ઘણા આકારો છે જેની સાથે આપણે પ્લેનને ટાઇલ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે ત્રિકોણ, ચોરસ અથવા ષટ્કોણ.
એક નિયમિત બહુકોણ સાથે ટેસેલેશન
અથવા અમે આ અથવા અન્ય આકૃતિઓના સંયોજનો સાથે પ્લેનને ટાઇલ કરી શકીએ છીએ.
કેટલાક નિયમિત બહુકોણ સાથે ટેસેલેશન
અથવા તમે પ્લેનને વધુ ઉડાઉ સંયોજનો સાથે ટાઇલ પણ કરી શકો છો:
અન્ય સંભવિત ટાઇલિંગ્સ
પરંતુ તમે પ્રસ્તુત કરેલ ટાઇલીંગની વિશાળ વિવિધતા પર તમે વિચાર કર્યો છે, તે બધામાં કંઈક સામ્ય છે, અને તે છે કે તે સામયિક છે. સામયિક શબ્દ એ હકીકતનો ઉલ્લેખ કરે છે કે શૂન્ય સિવાયના કેટલાક અનુવાદ છે, જે સમગ્ર મોઝેકને સમાન છોડી દે છે. આપણે જે સમજીએ છીએ તેના પરથી, તે એ હકીકતની સમકક્ષ છે કે જો આપણે કોઈ સપાટીને ટાઇલ કરીએ, આંખોને સિરામિક કરીએ અને કોઈ વ્યક્તિ સમગ્ર મોઝેકને ચોક્કસ દિશામાં ખસેડે અને પછી ફરીથી આંખોને ઢાંકી દે, તો આપણે મૂળ મોઝેક અને વિસ્થાપિત વચ્ચેના તફાવતની પ્રશંસા કરવામાં અસમર્થ હોઈશું.
અખબારો વિના મોઝેઇક
સામયિક ટાઇલિંગ્સથી વિપરીત, અમે બિન-સામયિક ટાઇલિંગ શોધીએ છીએ, જે તે છે કે જેના માટે કોઈ અનુવાદ નથી, શૂન્ય નથી, જે મોઝેકને સમાન દેખાવ સાથે છોડી દે છે. બિન-સામયિક મોઝેઇક શોધવાનું મુશ્કેલ નથી, તે પૂરતું છે, ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક ટાઇલિંગ લેવા માટે, ચાલો આપણે વિચારીએ, ઉદાહરણ તરીકે, એક માત્ર ચોરસ દ્વારા રચાય છે, અને સમગ્ર મોઝેકનો એક ચોરસ બે ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલો છે. સ્પષ્ટ છે કે તે હજી પણ પ્લેનનું ટેસેલેશન છે, પરંતુ ત્યાં કોઈ અનુવાદ હશે નહીં જે સમગ્ર ટેસેરાને સમાન છોડી દેશે કારણ કે આપણે બે ત્રિકોણની સંશોધિત સ્થિતિનું અવલોકન કરીને મૂળ મોઝેક અને તેના વિસ્થાપિત વચ્ચેનો તફાવત પારખી શકીશું.
એપિરિયોડિક ટાઇલિંગ
પરંતુ હવે જ્યારે વસ્તુઓ રસપ્રદ બને છે, કારણ કે જ્યારે એપિરિયોડિક મોઝેકનો ખ્યાલ દેખાય છે, જે તે છે જે સામયિક ન હોવા છતાં, વધારાની શરતને સંતોષે છે કે તેમની પાસે સમયાંતરે મનસ્વી રીતે મોટા પ્રદેશો નથી. એ જ રીતે આ વિચાર એપિરિયોડિક મોઝેકની જેમ સાંભળી શકાય છે, જો આપણે પૂરતો મોટો ભાગ લઈએ, તો તે બાકીના મોઝેકમાં પુનરાવર્તિત થતો નથી. ખાતરી કરો કે મોઝેક નમૂના કે જે કોઈ સામયિક પહેલાં વર્ણવે છે તે એપિરીયોડિક નથી કારણ કે આપણે મનસ્વી રીતે મોટા પ્રદેશો શોધી શકીએ છીએ જે સામયિક હોય છે, ફક્ત મનસ્વી રીતે મોટા ટુકડાઓ લો કે જેમાં ત્રિકોણનો સમાવેશ થતો નથી.
તેથી, પ્રશ્ન જે સ્વાભાવિક રીતે ઉદ્ભવે છે તે નીચે મુજબ છે:
ત્યાં aperiodic મોઝેઇક છે?
આ પ્રશ્ન, જે છેલ્લી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં અભ્યાસ કરવાનું શરૂ થયું, ટૂંક સમયમાં જ એક હકારાત્મક જવાબ મળ્યો અને એપિરીયોડિક ટેસેલેશન શોધવામાં સૌ પ્રથમ રાફેલ એમ. રોબિન્સન હતા. 1971 માં રોબિન્સન દ્વારા વર્ણવેલ મોઝેકમાં 6 ક્રમિક ટેસેરાનો સમાવેશ થાય છે.
રોબિન્સન ટાઇલ્સ
થોડા વર્ષો પછી, 70ના દાયકામાં પણ, રોજર પેનરોઝે બે એપિરિયોડિક ટાઇલ્સ મેળવી હતી જે બાંધી શકાય છે, દરેક માત્ર બે અલગ અલગ ટાઇલ્સનો ઉપયોગ કરે છે. આ ટેસેલેશન્સમાંથી પ્રથમ બે અલગ અલગ રોમ્બસ દ્વારા રચાય છે:
પેનરોઝ ટાઇલ્સ (રોમ્બસ)
તમે આ રીતે મોઝેઇક બનાવી શકો છો:
પેનરોઝ ટાઇલીંગ
આમાંની બીજી એપિરીયોડિક ટાઇલીંગ સ્પષ્ટ કારણોસર પતંગ અને તીર તરીકે ઓળખાતા બે ટુકડાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
પેનરોઝ ટાઇલ્સ (ધૂમકેતુ અને તીર)
ઠીક છે, ત્યાં શંકા છે કે પ્લાન્ટર નીચે મુજબ હોઈ શકે છે:
શું એક જ ટાઇલ દ્વારા રચાયેલી એપિરીયોડિક મોઝેઇક છે?
આ સમસ્યાને આઈન સ્ટેઈન સમસ્યા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (જર્મનમાંથી "એક પથ્થર" માટે) અને લગભગ 50 વર્ષથી તે વણઉકેલાયેલી રહી છે. ગયા માર્ચ સુધી!
આઈન સ્ટેઈનની શોધ
20 માર્ચના રોજ, કેમ્બ્રિજ, વોટરલૂ અને અરકાનસાસની યુનિવર્સિટીના વૈજ્ઞાનિકો ડેવિડ સ્મિથ, જોસેફ સેમ્યુઅલ માયર્સ, ક્રેગ એસ. કેપલાન અને ચાઈમ ગુડમેન-સ્ટ્રોસે કૃતિ 'એન એપેરિયોડિક મોનોટાઈલ' પ્રકાશિત કરી જેમાં તેઓએ મોસાડિક પીસ સાથે સિંગલ પીસને જન્મ આપતી ખૂબ જ માંગી શકાય તેવી ટાઇલના સંભવિત આકારનું વર્ણન કર્યું.
સ્મિથ, માયર્સ, કેપ્લાન અને ગુડમેન-સ્ટ્રોસ દ્વારા વર્ણવેલ ટાઇલ
આ સિંગલ ટાઇલ સાથે, જે મને ટી-શર્ટ જેવી જ લાગે છે, તે બતાવે છે કે નીચેના જેવા એપિરિયોડિક મોઝેઇક બનાવી શકાય છે:
ટાઇલનું એપિરિયોડિક મોઝેક
જો તમારી જિજ્ઞાસા વિષય વિશે શાંત છે, તો તમે નીચેની વિડિઓમાં આ શોધમાં વધુ ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરી શકો છો,
જેમાં તેના શોધકર્તાઓ આ ક્ષેત્રના અન્ય સંબંધિત લોકો સાથે વાત કરે છે, જેમાં ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર રોજર પેનરોઝનો સમાવેશ થાય છે.
ABCdario de las Matemáticas એ એક વિભાગ છે જે રોયલ સ્પેનિશ મેથેમેટિકલ સોસાયટી (RSME) ના પ્રસાર કમિશન સાથેના સહયોગથી ઉદભવે છે.
લેખક વિશે
વિક્ટર એમ. મેનેરો
