Neste artigo imos probar os coñecementos matemáticos de ChatGPT. Tentaremos aproveitar a intelixencia artificial para atopar un contraexemplo ao Teorema Fundamental da Álxebra, descubrindo que sen dúbida nos lanzaría cara á Medalla Fields.
Se preguntamos polas raíces dun polinomio de grao 3, neste caso todos reais, ChatGPT argumenta que a resolución analítica pode depender do polinomio proposto, polo que recomendamos utilizar un método numérico iterativo como o método de Newton-Raphson.
Un erro no cálculo da derivada
Ata agora, non podemos dubidar da capacidade matemática da IA, polo que intentamos que resolva o problema de atopar as raíces do polinomio p(x) = x3 – 3×2 + 4 e para a nosa sorpresa fixo o cálculo incorrecto. da derivada , polo que a obtención das raíces non é correcta. Devolve x = 0 como raíz do polinomio e pedímoslle que o comprobe. Por suposto, é consciente da existencia dun erro pero non sabe onde se produciu. Vimos que o erro está na derivada do polinomio e pedimos que se calculou a partir das raíces mediante o método de Newton-Raphson. Sorprendentemente, volve cometer un erro computacional, esta vez nunha operación sinxela, como podemos ver na seguinte imaxe:
Error de cálculo
Observando o erro nos cálculos, preguntámoslle de novo, cometendo outro erro, polo que lle damos a primeira iteración do Método de Newton-Raphson, a saber, x₁ = 5/3 e pedimos que continúe coas iteracións, resultando x₁ = 5. /3 é a raíz do polinomio. Corroboramos preguntando de novo se o valor 5/3 é unha raíz do polinomio, e obtemos unha resposta afirmativa. Pedimos calcular o valor do polinomio nese valor e, como o resultado é diferente de cero, mostrámoslle que non pode ser unha raíz. Enténdeo e pide desculpas como podemos ver a continuación:
Concluímos que a teoría do Método de Newton-Raphson é correcta, pero a súa aplicación non o é, polo que tentamos atopar as raíces mediante outro método, como a factorización do polinomio.
Neste caso, atopamos que as raíces do polinomio p(x) son x = r e x = 1 ± 2i.
Cando se lle solicite que verifique que o valor de p(1+2i) é distinto de cero e, polo tanto, non pode ser unha raíz do noso polinomio, volve recoñecer o erro. Chegados a esta situación, imos cunha pista, e dicímoslle que x = – 1 é unha raíz real do polinomio e que calculan o resto das raíces. A súa primeira resposta non pode ser máis sorprendente, dicíndonos que ademais de x = – 1, as outras raíces do polinomio p(x)=4 – 3×2 + x3 son x = 1 + 2i e x = 1 – 2i . Ata catro veces volve dar resultados incorrectos, polo que non nos queda outra que proporcionarlle unha nova raíz. Neste caso, en lugar de dalo, preguntamos se x = 2 é a raíz do noso polinomio. Xulgue por vós mesmos a resposta, ou mellor dito, os cálculos que realiza ChatGPT para comprobar que x = 2 non é unha raíz:
Despois de comprobar de novo os teus cálculos, remata explicando que as raíces do noso polinomio son x = – 1, x = 1 e x = 2.
Demostrarémosche que as tres raíces son, devolvendo o correcto, é dicir, x = 1 non é unha raíz mentres que os outros dous valores son. Non nos rendimos e tentamos atopar a terceira raíz do polinomio, e é precisamente onde atopamos a maior mala interpretación. As nosas explicacións: “O teorema fundamental da álxebra establece que todo polinomio de grao ten exactamente n raíces, tanto reais como complexas. Así, se un polinomio de grao n ten k raíces reais, entón debe ter nk raíces complexas. Ata agora estamos de acordo. Continuamos con: “No caso do polinomio p(x) = 4 – 3×2 + x3, descubrimos que ten dúas raíces reais, x = – 1 e x = 2. Dado que p(x) é un polinomio de grao 3, entón debe ter unha raíz complexa adicional. Esta raíz complexa é x = 1 ± 2i. Non podemos saír do noso asombro e pensamos que só nos quería mostrar unha das dúas raíces, polo que lle damos outra oportunidade, dando como resultado:
Entón, se temos razón, acabamos de atopar un contraexemplo do Teorema Fundamental da Álxebra, un polinomio de grao 3 con 4 raíces. Estamos a correr pola medalla Fields?
A IA reafirmou que a súa resposta é correcta ata dúas veces máis, mostrando que un polinomio de grao 3 pode ter 4 raíces. Mesmo nos puxemos a buscalos usando o Método de Bisección. Agora si, renunciamos a buscar as raíces dun polinomio sinxelo de grao 3. Despedimos cordialmente cunha última pílula:
Como resumo final, non dicimos que o ChatGPT sexa unha mala Intelixencia Artificial, nin moito menos, se non todo o contrario, é moi boa IA, pero por si mesma, en Procesamento da Linguaxe Natural, aínda que en Matemáticas aínda ten unha moito camiño por percorrer.aprender. Hai que ser críticos cos resultados que nos devolven os motores: non son certos por moi ben explicados que estean, e parece que falta un humano que poida comprobar a súa veracidade.
SOBRE O AUTOR
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Este artigo publicouse orixinalmente en The Conversation.
