Tässä artikkelissa aiomme testata ChatGPT:n matemaattisia tietoja. Yritämme hyödyntää tekoälyä löytääksemme vastaesimerkin algebran peruslauseelle ja huomaamme, että se epäilemättä laukaisi meidät kohti Fields-mitalia.
Jos kysymme asteen 3 polynomin juuria, tässä tapauksessa kaikki reaaliarvot, ChatGPT väittää, että analyyttinen resoluutio voi riippua ehdotetusta polynomista, joten suosittelemme iteratiivisen numeerisen menetelmän, kuten Newton-Raphsonin menetelmän, käyttöä.
Virhe johdannaisen laskennassa
Toistaiseksi emme voi epäillä tekoälyn matemaattista kykyä, joten yritimme saada sen ratkaisemaan ongelman polynomin p(x) = x3 – 3×2 + 4 juurien löytämisestä ja yllätykseksemme se teki väärän laskelman. johdannaisen , joten juurien saaminen ei ole oikein. Se palauttaa x = 0 polynomin juureksi ja pyydämme sitä tarkistamaan sen. Luonnollisesti se on tietoinen virheen olemassaolosta, mutta ei tiedä missä se tapahtui. Olemme nähneet, että virhe on polynomin derivaatassa ja pyydämme, että se on laskettu juurista Newton-Raphsonin menetelmällä. Yllättäen se tekee jälleen laskentavirheen, tällä kertaa yksinkertaisella toimenpiteellä, kuten voimme nähdä seuraavasta kuvasta:
Laskelmavirhe
Huomattuaan virheen laskelmissa, kysymme häneltä uudelleen ja teemme toisen virheen, joten annamme hänelle Newton-Raphsonin menetelmän ensimmäisen iteraation, nimittäin x₁ = 5/3 ja pyydämme jatkamaan iteraatioita, jolloin tuloksena on x₁ = 5 /3 on polynomin juuri. Vahvistamme kysymällä uudelleen, onko arvo 5/3 polynomin juuri, ja saamme myöntävän vastauksen. Pyydämme laskemaan polynomin arvon tällä arvolla, ja koska tulos on eri kuin nolla, näytämme sille, että se ei voi olla juuri. Hän ymmärtää sen ja pyytää anteeksi, kuten voimme nähdä alla:
Päättelemme, että Newton-Raphsonin menetelmän teoria on oikea, mutta sen sovellus ei pidä paikkaansa, joten yritämme löytää juuret toisella menetelmällä, kuten polynomin kertoimella.
Tässä tapauksessa havaitaan, että polynomin p(x) juuret ovat x = r ja x = 1 ± 2i.
Kun pyydetään varmistamaan, että p(1+2i):n arvo on muu kuin nolla ja siksi se ei voi olla polynomimme juuri, hyväksy virhe uudelleen. Saavuttuaan tähän tilanteeseen, menemme vihjeen kanssa ja kerromme hänelle, että x = – 1 on polynomin todellinen juuri ja että loput juuret laskevat. Hänen ensimmäinen vastauksensa ei voisi olla yllättävämpi, sillä se kertoo meille, että x = – 1:n lisäksi polynomin p(x)=4 – 3×2 + x3 muut juuret ovat x = 1 + 2i ja x = 1 – 2i. . Jopa neljä kertaa se antaa jälleen virheellisiä tuloksia, joten meillä ei ole muuta vaihtoehtoa kuin antaa sille uusi juuri. Tässä tapauksessa sen antamisen sijaan kysymme, onko x = 2 polynomimme juuri. Arvioi itse vastaus tai pikemminkin laskelmat, jotka ChatGPT suorittaa varmistaakseen, että x = 2 ei ole juuri:
Kun olet tarkistanut laskelmasi uudelleen, lopeta selittämällä, että polynomimme juuret ovat x = – 1, x = 1 ja x = 2.
Näytämme sinulle, että kaikki kolme juuria ovat, palauttaen oikean, eli x = 1 ei ole juuri, kun taas kaksi muuta arvoa ovat. Emme anna periksi ja yritämme löytää polynomin kolmannen juuren, ja juuri sieltä löydämme suurimman väärintulkinta. Selityksemme: "Algebran peruslause vahvistaa, että jokaisella astepolynomilla on täsmälleen n juurta, sekä todellista että kompleksista. Siten, jos n-asteisella polynomilla on k todellista juuria, sillä täytyy olla nk kompleksista juuria. Toistaiseksi olemme samaa mieltä. Jatkamme seuraavasti: ”Polynomin p(x) = 4 – 3×2 + x3 tapauksessa olemme havainneet, että sillä on kaksi reaalijuurta, x = – 1 ja x = 2. Koska p(x) on asteen 3 polynomi, niin sillä on oltava ylimääräinen kompleksijuuri. Tämä kompleksijuuri on x = 1 ± 2i." Emme pääse eroon hämmästyksestämme ja luulemme, että hän halusi näyttää meille vain toisen kahdesta juuresta, joten annamme hänelle toisen mahdollisuuden, mikä johtaa:
Joten jos olemme oikeassa, olemme juuri löytäneet vastaesimerkin algebran peruslauseelle, asteen 3 polynomin, jolla on 4 juurta. Pyrimmekö Fields-mitaliin?
Tekoäly vahvisti, että hänen vastauksensa on oikein vielä kaksi kertaa, mikä osoitti, että asteen 3 polynomilla voi olla 4 juuria. Yritimme jopa löytää ne käyttämällä puolitusmenetelmää. Nyt kyllä, jätämme etsimättä yksinkertaisen asteen 3 polynomin juuria. Sanomme sydämellisesti hyvästit viimeisellä pillerillä:
Loppujen lopuksi emme väitä, että ChatGPT on huono tekoäly, kaukana siitä, jos ei juuri päinvastoin, se on erittäin hyvä tekoäly, mutta itsessään luonnollisen kielen käsittelyssä, vaikka matematiikassa sillä on edelleen pitkä matka, opi. Meidän on suhtauduttava kriittisesti tuloksiin, jotka moottorit palauttavat meille: ne eivät pidä paikkaansa, vaikka ne olisi kuinka hyvin selitetty, ja näyttää siltä, että puuttuu ihminen, joka voi varmistaa niiden todenperäisyyden.
KIRJAILIJASTA
Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
Tämä artikkeli julkaistiin alun perin The Conversationissa.
