– Gelditu bilaketa! "Azkenean aurkitu dugu", esan zuen MacCarnigan komisarioak.
– Nori jauna? -galdetu zuen Pierron bigarren tenienteak.
– Inoiz imajina dezakezun zital iheskorrenetako bati. Ia 50 urte daramatzat haren bila.
– Ez nuen ideiarik, komisarioa. Nori buruz ari da?
– Bere zenbakia Ein Stein da eta ia bizitza osoa behar izan dut hura aurkitzeko.
- Nori buruz da? Ba al duzu zure argazkirik hor?
– Bai, hementxe daukat, hauxe dirudi, baina ez zaitez engaina bere itxura xaloarekin, hemengo jauntxo honek ia hamar hamarkadaz suspensean eduki gaitu.
Orduan, MacCarniganek Pierron agenteari Ein Steinen argazkia erakutsi zion, argazki hau:
Stein-en.
Poliziaren istorio labur honek txantxa bat dirudi, baina detektibeak matematikariengatik aldatzen baditugu, azken urteotan bizi izan diren aurkikuntza matematiko zoragarrienetako bat bihurtzen da. Baina istorio honen nondik norakoak ulertzeko, lehenik eta behin, matematikak eta arteak bat egiten duten alorretako bati buruz hitz egin behar dugu: mosaikoak.
Mosaiko Egunkariak
Denok ikusi dugu mosaiko bat gure bizitzako uneren batean. Lan artistiko edo apaingarri txikiak dira, elkarrekin bat egiten duten pieza txikiak erabiliz egiten direnak.
Mosaikoen adibide batzuk
Matematikan mosaikoei buruz hitz egiten dugunean normalean teselazioak deritzoguna aipatzen dugu, hau da, piezak edo fitxak antolatzeko modu bat da, pieza hauek ertz komunak izan ditzaten eta zulorik utzi ez dezaten.
Aspaldi, matematikariek galdera hau egin zioten euren buruari:
Zer motatako piezarekin teselatu dezaket hegazkina?
Hau da, zer motatako piezak erabil ditzaket horretarako, fitxak alde komunetan ukitu daitezen jarriz, planoan hutsunerik ez egotea. Argi dago zirkuluak ez daudela hautapen talde honetan, izan ere, planoa zirkuluak soilik erabiliz lauzatu nahi badut hutsuneak geratuko dira. Tira, letxa finkoa jarri beharko dut.
Zirkuluek hutsuneak uzten dituzte
Hala ere, badira planoa teselatzeko beste hainbat irudi, adibidez, triangeluak, karratuak edo hexagonoak.
Poligono erregular bakarreko teselazioa
Edo planoa irudi hauen edo beste batzuen konbinazioekin lauzatu dezakegu.
Hainbat poligono erregulardun teselazioa
Edo hegazkina konbinazio bitxiagoekin tesela dezakezu:
Beste teselazio posibleak
Baina aurkeztu dituen teselaren barietate handia kontuan hartu du, guztiek dute zerbait komunean, eta hau da, periodikoak dira. Periodiko terminoak mosaiko osoa berdin uzten duen itzulpenen bat dagoela aipatzen du, zeroz gain. Ulertzen dugunaren arabera, horren baliokide da gainazal bat lauzatzen badugu, zeramikazko begiak eta norbaitek mosaiko osoa norabide zehatz batean mugitzen badu eta gero begiak berriro estaltzen baditugu, ezin izango dugu jabetu jatorrizko mosaikoaren eta desplazatutakoaren arteko aldea. bat.
Egunkaririk gabeko mosaikoak
Aldizkako teselazioen aldean teselazio ez-periodikoak aurkitzen ditugu, hau da, translaziorik ez duten horiek, ez nuluak, mosaikoa itxura bera uzten dutenak. Ez da zaila mosaiko ez-periodikoak aurkitzea, nahikoa da, adibidez, tesela periodiko bat hartzea, pentsa dezagun adibidez laukiz soilik osatutakoa, eta mosaiko osoko karratu bakarra bi triangelutan banatzen dugu. Argi dago oraindik planoaren teselazio bat dela, baina ez da tesela osoa berdin uzten duen translaziorik izango, jatorrizko mosaikoa eta lekuz aldatutakoa bereizi ahal izango baititugu bi triangeluen posizio aldatua behatuz besterik gabe.
Mosaiko aperiodikoak
Baina orain gauzak interesgarri bihurtzen direnean, mosaiko aperiodikoaren kontzeptua agertzen baita, aldizkakoa izanik, aldizkako eskualde zabalak arbitrarioki ez edukitzeko baldintza gehigarria betetzen ez dutenak. Ideia hau mosaiko aperiodiko batean bezala entzuten da, aski pieza handia hartzen badugu, ez da mosaikoaren gainerakoan errepikatzen. Ziurtatu aurretik ezein aldizkaririk deskribatzen duen mosaiko lagina ez dela aperiodikoa, aldizkako eskualde handiak aurki ditzakegulako; hartu besterik ez triangelurik ez duten pieza handiak.
Beraz, modu naturalean sortzen den galdera hau da:
Mosaiko aperiodikoak al daude?
Joan den mendearen bigarren erdian eztabaidatzen hasi zen galdera honek laster baiezko erantzuna jaso zuen eta teselazio aperiodikoa aurkitzen lehenetariko bat Raphael M. Robinson izan zen. Robinsonek 1971n deskribatutako mosaikoa ondoz ondoko 6 fitxak osatzen zuten.
Robinson fitxak
Urte batzuk beranduago, 70eko hamarkadan ere, Roger Penrose-k eraiki zitezkeen bi fitxa aperiodiko lortu zituen, bakoitzak bi fitxa ezberdin soilik erabiliz. Teselazio horietako lehenengoa bi erronbo ezberdinez osatuta dago:
Penrose teserae (erronboak)
Mosaikoak honela ekoitzi ditzakezu:
Penrose Mosaikoa
Teselazio aperiodiko horietako bigarrena kometa eta gezia izenez ezagutzen diren bi piezak ematen dute, ageriko arrazoiengatik:
Penrose tesserae (mirua eta gezia)
Beno, plantar bat honako hau izan daitekeen galdera dago:
Ba al dago teila bakar batez osatutako mosaiko aperiodikoak?
Arazo hau Ein Stein arazoa (alemanetik "harri bat") izenez ezagutzen da eta ia 50 urtez konpondu gabe egon da. Joan den martxora arte!
Ein Steinen aurkikuntza
Martxoaren 20an, Cambridge, Waterloo eta Arkansasko Unibertsitateetako David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan eta Chaim Goodman-Strauss zientzialariek 'An aperiodic monotile' lana argitaratu zuten, eta bertan bilatzen den forma posible bat deskribatu zuten. -pieza berezia duen mosaiko aperiodikoa sortzen duen baldosa.
Smith, Myers, Kaplan eta Goodman-Strauss-ek deskribatutako fitxa
Nire ustez kamiseta baten oso antzekoa den fitxa bakar honekin, honako hauek bezalako mosaiko aperiodikoak eraiki daitezkeela erakusten du:
Teila baten mosaiko aperiodikoa
Gaiari buruz jakin-mina baduzu, aurkikuntza honetan sakondu dezakezu hurrengo bideoan,
bertan, bere aurkitzaileek inguruko beste pertsona garrantzitsu batzuekin hitz egiten dute, besteak beste Roger Penrose Fisikako Nobel Saria.
ABCdario de las Mathematics Espainiako Matematika Errege Elkartearen (RSME) Dibulgazio Batzordearen lankidetzatik sortutako atala da.
EGILEARI BURUZ
Victor M. Manero
