– Lõpetage otsimine! "Leidsime selle lõpuks üles," ütles volinik MacCarnigan.
— Kellele, härra? - küsis alamleitnant Pierron.
– Ühele kõige tabamatumale kaabakale, keda sa eales ette kujutad. Olen seda peaaegu 50 aastat otsinud.
– Mul polnud õrna aimugi, volinik. Kellest jutt käib?
– Tema number on Ein Stein ja mul on tema leidmiseks kulunud peaaegu terve elu.
- Kellest jutt on? Kas sul endast seal pilte on?
– Jah, mul on see siinsamas, selline see välja näeb, aga ärge laske end selle süütust välimusest eksitada, see väike härrasmees siin on meid pea kümme aastakümmet põnevuses hoidnud.
Seejärel näitas MacCarnigan agent Pierronile Ein Steini fotot, see foto:
Steinis.
See lühike politseilugu võib tunduda naljana, kuid kui me vahetame detektiivid matemaatikute vastu, saab sellest üks imelisemaid matemaatilisi avastusi, mida viimastel aastatel on kogetud. Kuid selleks, et mõista selle loo ulatust, peame kõigepealt rääkima ühest valdkonnast, milles matemaatika ja kunst ühinevad: mosaiigid.
Mosaiik ajalehed
Me kõik oleme oma elus mingil hetkel mosaiiki näinud. Need on väikesed kunsti- või dekoratiivtööd, mis on tehtud väikestest omavahel kokkusobivatest tükkidest.
Mõned näited mosaiikidest
Kui me räägime matemaatikas mosaiikidest, viitame tavaliselt tessellatsioonidele, mis on viis tükkide või plaatide paigutamiseks nii, et nendel tükkidel on ühised servad ja need ei jätaks auke.
Ammu aega tagasi esitasid matemaatikud endale järgmise küsimuse:
Milliste tükkidega saab lennukit tesselleerida?
See tähendab, mis tüüpi tükke ma saan selleks kasutada, asetades need nii, et plaadid puudutaksid ühiseid külgi, tasapinnas ei jää tühikuid. Ilmselgelt ei ole ringid selles valitud rühmas, sest kui ma tahan tasapinda plaatida ainult ringidega, siis jäävad tühimikud. Tule, ma pean fikseeritud vuugisegu panema.
Ringid jätavad tühimikud
Siiski on palju muid kujundeid, millega saame tasapinna tesselleerida, näiteks kolmnurgad, ruudud või kuusnurgad.
Tesselatsioon ühe korrapärase hulknurgaga
Või võime tasapinna plaatida nende või muude kujundite kombinatsioonidega.
Tesselatsioon mitme korrapärase hulknurgaga
Või saate lennukit isegi ekstravagantsemate kombinatsioonidega täiendada:
Muud võimalikud tessellatsioonid
Kuid ta on võtnud arvesse tema esitatud tessellatsioonide suurt mitmekesisust, neil kõigil on midagi ühist, see tähendab, et need on perioodilised. Termin perioodiline viitab asjaolule, et peale nulli on mõni muu tõlge, mis jätab kogu mosaiigi samaks. Meie arusaamise järgi on see samaväärne sellega, et kui me plaadime pinna, keraamime silmad ja keegi liigutab kogu mosaiigi kindlas suunas ja seejärel katab silmad uuesti, ei suuda me mõista erinevust algse ja nihutatud mosaiigi vahel. üks.
Mosaiigid ilma ajalehtedeta
Vastupidiselt perioodilistele tessellatsioonidele leiame mitteperioodilisi tessellatsioone, mille puhul puudub tõlge, mitte null, mis jätab mosaiigi sama välimusega. Mitteperioodiliste mosaiikide leidmine pole keeruline, piisab näiteks perioodilisest tessellatsioonist, mõelgem näiteks ainult ruutudest moodustatavale ja jagame kogu mosaiigi ühe ruudu kaheks kolmnurgaks. On selge, et tegemist on ikkagi tasapinna tessellatsiooniga, kuid puudub tõlge, mis jätaks kogu tessera samaks, kuna saame eristada algset mosaiiki selle nihutatud mosaiigist, jälgides lihtsalt kahe kolmnurga muudetud asukohta.
Aperioodilised mosaiigid
Aga praegu läheb asi huvitavaks, sest just siis ilmub aperioodilise mosaiigi mõiste, mis on need, mis perioodilisusena ei täida lisatingimust, et neil pole suvaliselt suuri perioodilisi piirkondi. Samamoodi on seda mõtet kuulda nagu aperioodilise mosaiigi puhul, kui võtta piisavalt suur tükk, siis see ülejäänud mosaiigis ei kordu. Veenduge, et mosaiiginäidis, mida ükski perioodiline väljaanne varem ei kirjelda, ei oleks aperioodiline, kuna võime leida suvaliselt suuri perioodilisi piirkondi, võtke lihtsalt suvaliselt suured tükid, mis ei sisalda kumbagi kolmnurka.
Seega tekib loomulikult järgmine küsimus:
Kas on aperioodilisi mosaiike?
See küsimus, mida hakati arutama eelmise sajandi teisel poolel, sai peagi jaatava vastuse ja üks esimesi, kes aperioodilise tessellatsiooni leidis, oli Raphael M. Robinson. Robinsoni 1971. aastal kirjeldatud mosaiik koosnes kuuest järjestikusest plaadist.
Robinsoni plaadid
Mõni aasta hiljem, samuti 70. aastatel, hankis Roger Penrose kaks aperioodilist plaati, mida sai ehitada ja millest igaüks kasutas ainult kahte erinevat plaati. Esimene neist tessellatsioonidest koosneb kahest erinevast rombist:
Penrose tesserae (rombid)
Mosaiike saate valmistada järgmiselt:
Penrose'i mosaiik
Teise neist aperioodilistest tessellatsioonidest annavad arusaadavatel põhjustel kaks tükki, mida tuntakse komeedi ja noolena:
Penrose tesserae (lohe ja nool)
Noh, on küsimus, et plantar võiks olla järgmine:
Kas on olemas aperioodilisi mosaiike, mis koosnevad ühest plaadist?
Seda probleemi tuntakse Ein Steini probleemina (saksa keelest "kivi") ja see on olnud lahendamata peaaegu 50 aastat. Kuni eelmise aasta märtsini!
Ein Steini avastus
20. märtsil avaldasid teadlased David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan ja Chaim Goodman-Strauss Cambridge'i, Waterloo ja Arkansase ülikoolidest töö "An aperioodic monotile", milles nad kirjeldasid sellise püüdluse võimalikku vormi. -pärast plaati, millest moodustub kordumatu tükiga aperioodiline mosaiik.
Smithi, Myersi, Kaplani ja Goodman-Straussi kirjeldatud plaati
Selle üksiku plaadiga, mis minu arvates näeb väga sarnane välja T-särgiga, näitab see, et saab ehitada selliseid aperioodilisi mosaiike nagu:
Plaadi aperioodiline mosaiik
Kui olete selle teema vastu uudishimulik, saate sellesse avastusse süveneda järgmises videos,
kus selle avastajad räägivad teiste asjakohaste inimestega selles piirkonnas, sealhulgas Nobeli füüsikaauhinna Roger Penrose'iga.
ABCdario de las Mathematics on osa, mis tuleneb koostööst Hispaania Kuningliku Matemaatika Seltsi (RSME) levitamiskomisjoniga.
AUTORI KOHTA
Victor M. Manero
