— Спыніце пошукі! Нарэшце мы яго знайшлі, — усклікнуў камісар МакКарніган.
— Хто пан? - спытаў другі лейтэнант П'ерон.
«Аднаму з самых слізкіх жулікаў, якіх толькі можна ўявіць. Я шукаў яго амаль 50 гадоў.
— Паняцця не меў, камісар. Пра каго гэта?
– Яго нумар Эйн Штэйн, і мне спатрэбілася амаль усё жыццё, каб знайсці яго.
- Пра каго гэта? У вас ёсць вашыя фатаграфіі?
– Так, ён у мяне тут, вось так ён выглядае, але хай вас не падманвае яго нявінны выгляд, гэты джэнтльмен трымае нас у напружанні амаль дзесяць дзесяцігоддзяў.
Такім чынам, МакКарніган паказаў агенту П'еру фатаграфію Эйна Штэйна, гэтую фатаграфію:
У Штэйна.
Гэтая кароткая гісторыя міліцыянераў можа здацца жартам, але калі замяніць дэтэктывы на матэматыкаў, то гэта стане адным з самых цудоўных матэматычных адкрыццяў, якія адбыліся за апошнія гады. Але каб зразумець маштабы гэтай гісторыі, мы спачатку павінны пагаварыць пра адну з галін, у якой зліваюцца матэматыка і мастацтва: мазаіку.
мазаічныя газеты
Усе мы калі-небудзь бачылі мазаіку ў сваім жыцці. Гэта невялікія мастацкія або дэкаратыўныя творы, якія зроблены з выкарыстаннем невялікіх частак, якія падыходзяць адзін да аднаго.
Некалькі прыкладаў мазаікі
Калі мы гаворым пра мазаіку ў матэматыцы, мы звычайна маем на ўвазе тое, што вядома як мозаіка, якая з'яўляецца спосабам размяшчэння частак або плітак так, каб гэтыя часткі мелі агульныя краю і не пакідалі адтулін.
Даўным-даўно матэматыкі і матэматыкі паставілі наступнае пытанне
Якімі дэталямі я магу абліцаваць самалёт?
Гэта значыць, які тып кавалкаў я магу выкарыстоўваць для гэтага, размясціўшы іх так, каб пліткі датыкаліся адзін з адным агульнымі бакамі, каб не было прабелаў у плане. Відавочна, што кругі не ўваходзяць у гэту выбраную групу, бо калі я захачу выкласці пліткай плоскасць, выкарыстоўваючы толькі кругі, яны пакінуць у мяне дзіркі. Давай, мне трэба будзе заліць фіксаваны раствор.
кругі пакінуць прабелы
Тым не менш, ёсць шмат іншых формаў, з дапамогай якіх мы можам выкласці пліткай плоскасць, такіх як трыкутнікі, квадраты або шасцікутнікі.
Тэсселяцыя з адным правільным шматкутнікам
Ці мы можам абкласці плоскасць камбінацыямі тых ці іншых фігур.
Тэсселяцыя з некалькіх правільных шматкутнікаў
Ці вы нават можаце абкласці плоскасць больш экстравагантнымі камбінацыямі:
Іншыя магчымыя пліткі
Але вы паразважалі над вялікай разнастайнасцю плітак, якія вы прадставілі, усе яны маюць нешта агульнае, а менавіта тое, што яны перыядычныя. Тэрмін перыядычны адносіцца да таго факту, што ёсць нейкі пераклад, акрамя нуля, які пакідае ўсю мазаіку ранейшай. З таго, што мы разумеем, гэта эквівалентна таму факту, што калі мы выкладваем паверхню пліткай, керамічнымі вачыма і хтосьці рухае ўсю мазаіку ў пэўным кірунку, а потым зноў закрывае вочы, мы не зможам ацаніць розніцу паміж арыгінальнай мазаікай і перамешчаная.
мазаіка без газет
У адрозненне ад перыядычных тайлінгаў мы знаходзім неперыядычныя тайлінгі, якія з'яўляюцца тымі, для якіх няма перакладу, а не нуля, які пакідае мазаіку з тым жа выглядам. Знайсці неперыядычныя мазаікі няцяжка, дастаткова, напрыклад, узяць перыядычную плітку, дапусцім, напрыклад, утвораную толькі квадратамі, а адзіны квадрат усёй мазаікі падзелены на два трохкутнікі. . Відавочна, што гэта па-ранейшаму мазаіка плоскасці, але не будзе ніякага перакладу, які б пакінуў усю тэсеру ранейшай, паколькі мы зможам адрозніць арыгінальную мазаіку ад перамешчанай, проста назіраючы за змененым становішчам мазаікі. два трыкутніка.
аперыядычная плітка
Але цяпер усё становіцца цікавым, таму што менавіта тады з'яўляецца канцэпцыя аперыядычнай мазаікі, якая, хоць і не з'яўляецца перыядычнай, задавальняе дадатковай умове, што ў іх няма калі заўгодна вялікіх абласцей, якія з'яўляюцца перыядычнымі. Такім жа чынам гэтую ідэю можна пачуць, як і ў аперыядычнай мазаіцы, калі мы возьмем досыць вялікі кавалак, ён не паўтараецца ў астатняй частцы мазаікі. Пераканайцеся, што ўзор мазаікі, які раней не апісваўся ні ў адным перыядычным выданні, не з'яўляецца аперыядычным, бо мы можам знайсці калі заўгодна вялікія перыядычныя вобласці, проста вазьміце як заўгодна вялікія кавалкі, якія не ўключаюць у сябе ні адзін з трохвугольнікаў.
Такім чынам, натуральнае пытанне ўзнікае наступнае:
Ці існуюць аперыядычныя мазаікі?
Гэтае пытанне, якое пачало вывучацца ў другой палове мінулага стагоддзя, неўзабаве атрымала сцвярджальны адказ і адным з першых, хто знайшоў аперыядычную тэсселяцыю, быў Рафаэль М. Робінсан. Мазаіка, апісаная Робінсанам у 1971 годзе, складалася з 6 паслядоўных кубікаў.
плітка рабінзон
Некалькімі гадамі пазней, таксама ў 70-х гадах, Роджэр Пенроуз атрымаў дзве аперыядычныя пліткі, якія можна было пабудаваць, выкарыстоўваючы толькі дзве розныя пліткі. Першая з гэтых мозаік утворана двума рознымі ромбамі:
Плітка Пенроуза (ромбы)
Вырабляць такую мазаіку можна:
Плітка Пенроуза
Другая з гэтых аперыядычных плітак даецца двума часткамі, вядомымі як паветраны змей і страла, па зразумелых прычынах:
Плітка Пенроуза (камета і стрэлка)
Ну, ёсць сумневы, што падэшвенная можа быць наступным:
Ці існуюць аперыядычныя мазаікі, утвораныя адной пліткай?
Гэтая праблема была вядомая як праблема Эйн-Штэйна (з нямецкага «камень») і амаль 50 гадоў заставалася нявырашанай. Да мінулага сакавіка!
Адкрыццё Эйн Штэйна
20 сакавіка навукоўцы Дэвід Сміт, Джозэф Сэмюэл Майерс, Крэйг С. Каплан і Хаім Гудман-Строс з універсітэтаў Кембрыджа, Ватэрлоо і Арканзаса апублікавалі працу «An aperiodic monotile», у якой апісалі магчымую форму вельмі запатрабаванага пасля кубікаў, што дае пачатак аперыядычнай мазаіцы з унікальным фрагментам.
Плітка апісана Смітам, Майерсам, Капланам і Гудманам-Стросам
З дапамогай гэтай адзінай пліткі, якая, як мне здаецца, вельмі падобная на майку, ён паказвае, што можна пабудаваць аперыядычныя мазаікі накшталт наступнай:
Аперыядычная мазаіка пліткі
Калі ваша цікаўнасць да гэтай тэмы цвярозая, вы можаце паглыбіцца ў гэта адкрыццё ў наступным відэа,
у якім яго адкрывальнікі размаўляюць з іншымі адпаведнымі людзьмі ў гэтым раёне, у тым ліку з лаўрэатам Нобелеўскай прэміі па фізіцы Роджэрам Пенроузам.
ABCdario de las Matemáticas - гэта раздзел, які паўстаў у выніку супрацоўніцтва з Камісіяй па распаўсюджванні іспанскага Каралеўскага матэматычнага таварыства (RSME).
АБ АЎТАРЫ
Віктар М. Манеро
