- توقف عن البحث! لقد وجدناها أخيرًا ، "صرخ المفوض ماك كارنيجان.
- من يا سيدي؟ سأل الملازم الثاني بييرون.
"إلى واحد من أكثر المحتالين زلقًا الذي يمكن أن تتخيله على الإطلاق. لقد كنت أبحث عنه منذ ما يقرب من 50 عامًا.
- ليس لدي أي فكرة ، مفوض. عن من هو؟
- رقمه هو عين شتاين وقد استغرق الأمر عمري تقريبًا للعثور عليه.
- من هو؟ هل لديك أي صور لك هناك؟
- نعم ، لدي هنا ، هذا ما يبدو عليه ، لكن لا تنخدع بمظهره البريء ، فقد أبقينا هذا الرجل المحترم هنا في حالة ترقب لما يقرب من عشرة عقود.
لذلك أظهر ماك كارنيجان للعميل بييرون صورة عين شتاين ، هذه الصورة:
في شتاين.
قد يبدو هذا التاريخ المختصر لرجال الشرطة وكأنه مزحة ، ولكن إذا قمنا بتغيير المحققين لعلماء الرياضيات ، فإنه يصبح أحد أروع الاكتشافات الرياضية التي حدثت في السنوات الأخيرة. لكن لفهم نطاق هذه القصة ، علينا أولاً أن نتحدث عن أحد المجالات التي تندمج فيها الرياضيات والفن: الفسيفساء.
صحف الفسيفساء
لقد رأينا جميعًا فسيفساء في مرحلة ما من حياتنا. هذه أعمال فنية أو زخرفية صغيرة يتم صنعها باستخدام قطع صغيرة تتناسب مع بعضها البعض.
بعض الأمثلة على الفسيفساء
عندما نتحدث عن الفسيفساء في الرياضيات ، فإننا نشير عادةً إلى ما يعرف بالفسيفساء ، وهي طريقة لترتيب القطع أو البلاط بحيث يكون لهذه القطع حواف مشتركة ولا تترك ثقوبًا.
منذ زمن بعيد طرح علماء الرياضيات والرياضيات السؤال التالي
ما نوع القطع التي يمكنني تبطين الطائرة بها؟
أي ، ما هو نوع القطع التي يمكنني استخدامها لذلك ، ووضعها بحيث تلامس البلاط بعضها البعض على الجوانب المشتركة ، ولا توجد فجوات في الخطة. من الواضح أن الدوائر ليست في هذه المجموعة المحددة ، لأنني إذا أردت تجانب الطائرة باستخدام الدوائر فقط ، فسوف تترك لي ثقوبًا. تعال ، سأضطر إلى صب الجص الثابت.
الدوائر تترك فجوات
ومع ذلك ، هناك العديد من الأشكال الأخرى التي يمكننا من خلالها تجانب المستوى ، مثل المثلثات أو المربعات أو الأشكال السداسية.
تغطية بالفسيفساء بمضلع منتظم واحد
أو يمكننا تجانب الطائرة بمجموعات من هذه الأشكال أو غيرها.
تغطية بالفسيفساء مع عدة مضلعات منتظمة
أو يمكنك حتى تجانب الطائرة بمزيد من التركيبات الباهظة:
الأسقف الممكنة الأخرى
لكنك فكرت في التنوع الكبير في الأسطح التي قدمتها ، فجميعهم لديهم شيء مشترك ، وهو أنه دوري. يشير المصطلح دوري إلى حقيقة أن هناك بعض الترجمة ، بخلاف الصفر ، والتي تترك الفسيفساء بأكملها كما هي. مما نفهمه ، فإن هذا يعادل حقيقة أننا إذا قمنا بتلبيس سطح ، وسيراميك العينين وقام شخص ما بتحريك الفسيفساء بالكامل في اتجاه معين ثم غطى العينين مرة أخرى ، فلن نتمكن من تقدير الفرق بين الفسيفساء الأصلية والمشردين.
فسيفساء بدون جرائد
على عكس الأسقف الدورية ، نجد الأسطح غير الدورية ، وهي تلك التي لا توجد ترجمة لها ، وليست صفرًا ، والتي تترك الفسيفساء بنفس المظهر. ليس من الصعب العثور على فسيفساء غير دورية ، يكفي ، على سبيل المثال ، أن نأخذ تبليطًا دوريًا ، دعونا نفكر ، على سبيل المثال ، واحد مكون فقط من مربعات ، ومربع واحد من الفسيفساء بأكملها مقسم إلى مثلثين . من الواضح أنها لا تزال عبارة عن فسيفساء للطائرة ، ولكن لن تكون هناك أي ترجمة ستترك الفسيفساء بأكملها كما هي لأننا سنكون قادرين على التمييز بين الفسيفساء الأصلية والفسيفساء النازحة ببساطة من خلال ملاحظة الوضع المعدل لـ مثلثين.
تبليط غير دوري
ولكن الآن عندما تصبح الأشياء مثيرة للاهتمام ، لأنه عندما يظهر مفهوم الفسيفساء غير الدورية ، وهي تلك التي ، على الرغم من أنها ليست دورية ، تفي بشرط إضافي وهي عدم وجود مناطق كبيرة عشوائية دورية. وبنفس الطريقة يمكن سماع هذه الفكرة كما في الفسيفساء غير الدورية ، إذا أخذنا قطعة كبيرة بما يكفي ، فإنها لا تتكرر في بقية الفسيفساء. تأكد من أن عينة الفسيفساء التي لم يتم وصفها من قبل دورية ليست دورية نظرًا لأنه يمكننا العثور على مناطق كبيرة عشوائية دورية ، فقط خذ قطعًا كبيرة بشكل تعسفي لا تتضمن أيًا من المثلثين.
إذن ، السؤال الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي هو التالي:
هل توجد فسيفساء غير دورية؟
هذا السؤال ، الذي بدأ دراسته في النصف الثاني من القرن الماضي ، سرعان ما تلقى إجابة إيجابية وكان رافائيل إم. تتكون الفسيفساء التي وصفها روبنسون في عام 1971 من 6 قطع فسيفساء متتالية.
بلاط روبنسون
بعد بضع سنوات ، في السبعينيات أيضًا ، حصل روجر بنروز على قطعتين غير دوريتين يمكن بنائهما ، كل منهما باستخدام بلادين مختلفين فقط. يتكون أول هذه الفسيفساء من معينين مختلفين:
بلاط بنروز (المعين)
يمكنك إنتاج الفسيفساء على النحو التالي:
تبليط بنروز
يتم إعطاء الثانية من هذه الأسقف غير الدورية بواسطة قطعتين تعرفان باسم الطائرة الورقية والسهم ، لأسباب واضحة:
بلاط بنروز (المذنب والسهم)
حسنًا ، هناك شك في أن الأخمص يمكن أن يكون كما يلي:
هل توجد فسيفساء غير دورية مكونة من بلاطة واحدة؟
عُرفت هذه المشكلة بمشكلة عين شتاين (وتعني كلمة "حجر" في الألمانية) وظلت دون حل لما يقرب من 50 عامًا. حتى مارس الماضي!
اكتشاف عين شتاين
في 20 مارس ، نشر العلماء ديفيد سميث وجوزيف صموئيل مايرز وكريغ إس كابلان وشيم جودمان شتراوس من جامعات كامبريدج وواترلو وأركنساس العمل "أحادي اللون غير الدوري" الذي وصفوا فيه شكلاً محتملاً من بعد الفسيفساء التي تؤدي إلى ظهور فسيفساء غير دورية بقطعة فريدة.
وصف البلاط سميث ومايرز وكابلان وجودمان شتراوس
مع هذا البلاط الفردي ، الذي يبدو لي مشابهًا جدًا للقميص ، يوضح أنه يمكن بناء الفسيفساء غير الدورية مثل ما يلي:
فسيفساء غير دورية للبلاط
إذا كان فضولك رصينًا حول هذا الموضوع ، فيمكنك التعمق في هذا الاكتشاف في الفيديو التالي ،
حيث يتحدث مكتشفوها مع أشخاص آخرين ذوي صلة في المنطقة ، بما في ذلك جائزة نوبل في الفيزياء روجر بنروز.
ABCdario de las Matemáticas هو قسم ينشأ من التعاون مع لجنة النشر التابعة للجمعية الملكية الإسبانية للرياضيات (RSME).
عن المؤلف
فيكتور إم مانيرو
